在抽象代数中,局部化是一种在环中形式地添加某些元素的倒数,藉以建构分式的技术;由此可透过张量积构造模的局部化。范畴的局部化过程类似,但此时加入的是态射之逆元素,以使得这些态射在局部化以后变为同构。
局部化在环论与代数几何中占有根本地位,范畴的局部化则引出导范畴的概念,在高等数学中有众多应用。
“局部化”一词源出代数几何。设
是一个仿射代数簇
的坐标环(也就是
上的多项式函数),则
对其元素
的局部化的意义是将
从
中挖掉,得到的环
正是
的坐标环;若对极大理想
作局部化,则可以设想为挖去所有的
;得到的环
体现
上的多项式函数在
点的局部性质。
借着将模理解为仿射代数簇上的拟凝聚层,可以类似地诠释模的局部化;它无非是拟凝聚层在一个点的茎。
在此仅考虑含单位元的环。设
为环,
为
的积性子集(定义:对乘法封闭,并包含单位元的集合)。以下将探讨
对
之局部化。
对
的局部化如果存在,是一个环
(或记作
)配上环同态
,使之满足以下的泛性质:
- 对任何环
及环同态
,若
的元素在
下的像皆可逆,则存在唯一的环同态
,使得
是
与
的合成。
此性质可保证局部化
的唯一性。
当交换环
为整环时,局部化的构造相当容易。若
,则
必然是零环;若不然,我们可以在
的分式环
中构造局部化:取
为形如
的元素即可。
对于一般的交换环,我们必须推广分式环的构造;在此须注意到:由于
中可能有零因子,我们不能鲁莽地通分一个分式。构造方式如下:
在集合
上定义下述等价关系
:
存在
使得 
等价类
可以想成“分式”
,借此类比,在商集
上定义加法与乘法为:
![{\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81546d0a60e354768323a41bc9ac80e277d9f270)
![{\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0e9505cb3ca94832eccca12b06c7ebd43fb8e5)
可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态
,定义为
。于是可定义
,再 配上上述环运算与同态。在实践上,我们常迳将
里的元素写作分式
。
交换代数与代数几何中经常考虑两种局部化:
- 固定
,取
。在交换环谱中,对这类
的局部化构成
的基本开集(
表
的所有素理想构成的集合)。这种局部化常记作
。
- 固定素理想
,取
,此时也称作对素理想
的局部化。这种局部化常记作
。
以下是
的一些环论性质。
当且仅当
。
- 环同态
是单射,当且仅当
中不含零因子。
- 同态
下的逆像给出下列一一对应:

- 一个重要的特例是取
,可知
中的素理想一一对应至
中包含于
的素理想,因此
是局部环。
非交换环的局部化较困难,并非对所有积性子集
都有局部化。充分条件之一是欧尔条件,请参阅条目欧尔定理。
其应用之一是用于微分算子环。例如它可以解释作为一个微分算子
抽象地添加逆算子
;微局部分析中运用了这类构造。
设
为含单位元的交换环,
是积性子集,而
是个
-模。模的局部化与交换环类似,写作
或
。我们依然要求存在模同态
及以下的泛性质(此泛性质蕴含唯一性):
- 对任何
-模
及
-模同态
,存在唯一的
-模同态
,使得
是
与
的合成。
事实上,可以用张量积构造模的局部化:

这是一个正合函子,它将单射映为单射。亦即:
是平坦的
-模。利用张量积与环的局部化的泛性质,可以形式地导出上述构造确实满足局部化的要求。
此外,也可以仿造交换环的局部化,用分式
直接构造
,分式间的等价与代数运算类似交换环的情形。
范畴的局部化的意义在将一族态射之逆态射加入范畴中,使得这些态射成为同构。这在形式上近于环的局部化,也能使先前不同构的对象在局部化后变为同构。例如,在同伦理论中有许多连续映射在同伦的意义下可逆,借着将这些映射局部化,同伦等价的空间可被视为彼此同构。局部化范畴里的操作也称作分式运算,相关技术细节请见文献中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。
- 塞尔提议在模掉某类阿贝尔群
的同伦范畴里操作,这意谓若群
满足
,则视之为同构的。稍后 Dennis Sullivan 引进一个大胆的想法:改在空间的局部化里操作。如此将影响底层的拓扑空间。
- 设
的克鲁尔维数至少是 2,此时若两个
-模
满足
的支撑集的余维至少是 2,则可视之为伪同构的。岩泽理论大大利用了这个想法。
- 在同调代数中,我们借着加入拟同构之逆而得到导范畴。
- 在阿贝尔簇的理论中,我们常等同两个同源的阿贝尔簇,并将同源映射视为同构。此“至多差一个同源”的范畴是局部化较简单的例子,实质上不外是将
代以
。
一般而言,给定一个范畴
及一族态射
,在探讨是否能构造局部化
时会遇到以下问题:当
是小范畴或
是集合时已知可构造局部化,但一般来说则是个棘手的集合论问题;局部化的典型构造可能会造成两对象间的态射“太多”,换言之可能是个真类。发展模型范畴的动机之一正是要避免这类问题。
- P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
- Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
- Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1