等价关系

在数学中，等价关系（英语：Equivalence relation）是具有自反性，对称性，传递性的二元关系。等价关系也称为同值关系。一些等价关系的例子包括整数集上的同余，. 欧几里得几何中的等量（英语：Equipollence），以及普通的相等关系。

集合 $A$ 上的每个等价关系都提供了一个 $A$ 的划分，将 $A$ 划分为不相交的等价类。 $A$ 中的两个元素等价当且仅当它们属于同一等价类。

定义

若集合 $A$ 上的二元关系 $R$ 满足以下条件：

则称 $R$ 是一个定义在 $A$ 上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由 $R$ 改写为 $\sim$ 。

例如，设 $A=\{1,2,\ldots ,8\}$ ，定义 $A$ 上的关系 $R$ 如下：

xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}

其中 $x\equiv y{\pmod {3}}$ 叫做 $x$ 与 $y$ 模3同余，即 $x$ 除以3的余数与 $y$ 除以3的余数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证 $R$ 为 $A$ 上的等价关系。

并非所有的二元关系都是等价关系。一个简单的反例是比较两个数中哪个较大：

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