正规扩张

正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个有限扩张 $L/K$ 是正规扩张当且仅当扩域 $L$ 是多项式环 $K [X]$ 中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。

定义

正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张 $L/K$ 是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

$L$ 是多项式环 $K [X]$ 中的某一族多项式的分裂域。
设 $K alg$ 是一个包含了 $L$ 的 $K$ 的代数闭包。对于L在 $K alg$ 上的每一个嵌入 $σ$ ，只要它限制在 $K$ 上的部分是平凡的（即为恒等映射： $σ$ ( $x$ ) $= x$ ），那么就有 $σ$ $(L) = L$ 。换句话说， $L$ 在 $K alg$ 上的每一个 $K-$ 嵌入 $σ$ 都是一个 $L$ 上的 $K-$ 自同构。
任意一个 $K [X]$ 上的不可约多项式，只要它在 $L$ 中有一个根，那么就可以在 $L [X]$ 分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在 $L$ 中）。

例子

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 是 $\mathbb {Q}$ 的一个正规扩张，因为它是 $\mathbb {Q}$ 上的多项式 $x^{2}-2$ 的分裂域。然而， $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 并不是 $\mathbb {Q}$ 的一个正规扩张，因为 $\mathbb {Q}$ 上的不可约多项式 $x^{3}-2$ 有一个根： ${\sqrt[{3}]{2}}$ 在 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 里面，但它的另外两个根： ${\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\right)$ 和 ${\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)$ 都是复数，不在 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 里面。只有在加入了三次单位根： $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ 后的扩域 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )$ 才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 不是 $\mathbb {Q}$ 的正规扩张。设域 $\mathbb {A}$ 是由所有复代数数生成的扩域，则 $\mathbb {A}$ 是 $\mathbb {Q}$ 的一个代数闭包，并且 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 在 $\mathbb {A}$ 里面。另一方面，

\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}

并且，如果记 $\zeta ={\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)$ 是 $x^{3}-2$ 的复根之一，那么映射：

{\begin{array}{lccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\zeta +c\zeta ^{2}\end{array}}

是 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 在 $\mathbb {A}$ 上的一个嵌入，并且它限制在 $\mathbb {Q}$ 上的部分是平凡的（将 $\mathbb {Q}$ 中元素映射到自己）。但是 $σ$ 并不是 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 上的自同构。

更一般地，对每一个素数 $p$ ，域扩张 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ 都是 $\mathbb {Q}$ 的一个正规扩张，扩张的次数是 $p$ ( $p -$ 1)。 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ 是 $\mathbb {Q}$ 上的多项式 $x^{p}-2$ 的分裂域。其中的 $\zeta _{p}$ 是任意一个复数 $p$ 次单位根。

性质

设有域扩张 $L/K$ ，那么：

如果 $L$ 是 $K$ 的正规扩张，并且 $F$ 是一个子扩张（也就是说有扩张 $K$ ⊂ $F$ ⊂ $L$ ）那么 $L$ 也是 $F$ 的正规扩张。
如果 $L$ 的子域 $E$ 和 $F$ 都是 $K$ 的正规扩张，那么两者的复合扩张 $EF$ （指 $L$ 的子域中同时包含 $E$ 和 $F$ 的最小者）以及两者的交 $E$ ∩ $F$ 也都是 $K$ 的正规扩张。

正规闭包

设有域扩张 $L/K$ ，那么总存在域扩张 $M/L$ ，使得 $M/K$ 是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张 $N/L$ 如果使得 $N/K$ 是正规扩张，那么总存在 $N/L$ 的子扩张 $M'/L$ ，使得 $M'$ 同构于 $M$ 。这个唯一的“最小”正规扩张 $M/L$ 称为域扩张 $L/K$ 的正规闭包。

如果 $L/K$ 是有限扩张，那么它的正规闭包 $M/L$ 也是有限扩张（因此 $M/K$ 也是有限扩张）。

参见

伽罗瓦扩张

参考来源

Lang, Serge. Algebra, Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.
Jacobson, Nathan, Basic Algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 0-716-71933-9