模

此条目的主题是抽象代数中的概念。关于“模”的其他含义，请见“模 (消歧义)”。

在数学的抽象代数中，环上的模（英语：module）是对域上的向量空间的推广，这里不再要求向量空间里的标量的代数结构是域，进而放宽标量可以是环。模同时也是交换群的推广，因为交换群与整数环上的模相同。

因此，模同向量空间一样是加法交换群；在环元素和模元素之间定义了乘积运算，并且环元素和模元素的乘积是符合结合律的和分配律的。

模与群的表示论密切相关。模也是交换代数和同调代数的中心概念，并广泛地应用于代数几何和代数拓扑中。

定义

假设 $R$ 是环(ring)且 $1_{R}\in R$， $1_{R}$ 是其乘法运算的单位元。左R-模包括一个交换群 $(M,+)$ ，以及一个映射(或运算)

$\cdot :R\times M\rightarrow M$

(该运算叫做标量乘法或数积，对 $r\in R$ 及 $x\in M$ ，此运算的值 $\cdot (r,x)$ 会记作 $rx$ 或是 $r\cdot x$) ，并且满足以下条件

对所有 $r,s\in R$ ， $x,y\in M$

1. $(r\cdot s)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
2. $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
3. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
4. $1_{R}\cdot x=x.$

有数学家的左模定义并不要求环有单位乘法元素 $1_{R}$ ，所以他们的定义只含以上前三个条件而排除了第四个条件，并把以上的定义称为"带单位元( $1_{R}$ )的左模"。

左R-模 $M$ 记作 $_{R}M$ ，类似的右R-模 $M$ 记作 $M_{R}$ 。

右R-模 $M$ 或 $M_{R}$ 与左R-模的定义相似，只是环的元素在右边，即其标量乘法是 $\cdot :M\times R\rightarrow M$ 。在左R-模的定义中，环的元素 $r$ 和 $s$ 是在 $M$ 的元素 $x$ 的左边。若 $R$ 是可交换环，则左R-模与右R-模是一样的，简称为R-模。

若 $R$ 是一个域，则根据上述定义，R-模满足R-向量空间的定义。因此模是向量空间的推广，有很多与向量间相同的性质，但一般模不存在基底。

例子

• 所有交换群 $M$ 是一个在整数环 $\mathbb {Z}$ 上的模，对 $n\in \mathbb {Z}$ 及 $x\in M$，如果 $n>0$ ，其标量乘法定义为是 $nx=x+x+\dots +x$ （ $n$ 个 $x$ 相加），如果 $n=0$ ， $0x=x$ ，对 $n<0$ ， $(-n)x=-(nx)$ 。
• 若 $R$ 是一个环而 $n$ 是一个自然数，则 $R^{n}$ 是一个R-模。
• 若 $X$ 是一个光滑流形，则所有由 $X$ 映射至实数的光滑函数 $C^{\infty }(X)$ 是一个环 $R$ 。在 $X$ 上的所有向量场组成一个R-模。
• 所有 $n\times n$ 实数矩阵 $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ 与矩阵加法和矩阵乘法组成一个环 $R$ 。 欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 是一个左R-模，当中矩阵 $A$ 与向量 $v\in \mathbb {R} ^{n}$ 之间的标量乘法就是矩阵乘法 $Av$ 。
• 若 $R$ 是一个环而 $I$ 是其中一个 左理想 ，则 $I$ 是一个左R-模。

子模及同态

假设 $M$ 是左 $R$ -模， $N$ 是 $M$ 的子集。如果对于所有 $n\in N$ 及 $r\in R$ ，乘积 $rn\in N$ （对右模，则考虑 $nr$ ），则 $N$ 是 $_{R}M$ 的子模（或更准确地，R-子集）。

令 $M$ 和 $N$ 为两个左R-模， $f$ 为它们之间的一个映射， $f:M\rightarrow N$。若对所有 $m,n\in M$ 及 $r,s\in R$ ， $f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)$ ，则$f$ 为R-模同态。与其他类型的同态一样，模同态保存了模的结构。

其他定义及表达法

若M是左R-模，则一个R中元素r之作用定义为映射M → M，它将每个x映至rx（或者在右模的情况是xr），这必然是阿贝尔群（M,+）的群自同态。全域M的自同态记作End_Z(M)，它在加法与合成下构成一环，而将R的元素r映至其作用则给出从R至End_Z(M)之同态。

如此的环同态R → End_Z(M)称作R在阿贝尔群M上的一个表示。左R-模的另一种等价定义是：一个阿贝尔群M配上一个R的表示。

一个表示称作忠实的，当且仅当R → End_Z(M)是单射。以模论术语来说，这意谓若r是R的元素，且使得对所有M中的x都有rx=0，则r=0。任意阿贝尔群皆可表成整数环Z或其某一商环Z/nZ的忠实表示。