在抽象代数中,分式环或分式域是包含一个整环的最小域,典型的例子是有理数域之于整数环。此外分式环也可以推广到一般的交换环,此时通常称作全分式环。
分式环有时也被称为商域,但此用语易与商环混淆。
分式环是局部化的一个简单特例。以下设
为一个整环,而
。
在集合
上定义下述等价关系
:

等价类
可以想成“分式”
,上述等价关系无非是推广有理数的通分;借此类比,在商集
上定义加法与乘法为:
![{\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81546d0a60e354768323a41bc9ac80e277d9f270)
![{\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0e9505cb3ca94832eccca12b06c7ebd43fb8e5)
可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态
,定义为
;这是一个单射。于是可定义分式环
,再配上上述的加法与乘法运算。在实践上,我们常迳将
里的元素写作分式
。
整环
的分式环
及其自然环同态
满足以下的泛性质:
- 对任何环
及环同态
,若
中的元素在
下的像皆可逆,则存在唯一的环同态
,使得
是
与
的合成。
此性质不外是形式地表达了“K(R) 是包含 R 的最小的域”这个陈述。据此泛性质可形式地证明:任何一组资料
若使得
中的元素在
下的像皆可逆,且满足上述泛性质,则
必与
同构。
- 有理数域
是整数环
的分式环。
- 有理函数域是多项式环的分式环
- 代数数域是代数整数环的分式环。
- 在一个连通复流形上,亚纯函数域是全纯函数环的分式环。
对于一般的交换环
(容许有零因子),分式环是一种退而求其次的建构:我们想找使
为单射的“最大”局部化,详述如下:
设
为
中的非零因子所成子集,它是个积性子集,因此可对之作局部化。令
,此时
常被称作
的全分式环。