在交换代数 中， 深度 是交换环 与模 的一种不变量，它可以由正则序列 定义，或以同调代数 中的Ext函子 刻划。
设
R
{\displaystyle R}
交换环 ，
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
x
∈
R
{\displaystyle x\in R}
∀
m
∈
M
,
x
m
=
0
⇒
m
=
0
{\displaystyle \forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0}
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
一组 M-正则序列 是一个
R
{\displaystyle R}
(
x
1
,
…
,
x
d
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{d})}
1
≤
i
≤
d
{\displaystyle 1\leq i\leq d}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
M
/
(
x
0
,
…
,
x
i
−
1
)
{\displaystyle M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})}
x
0
:=
0
{\displaystyle x_{0}:=0}
定理 （Rees）：若
(
R
,
m
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
局部 诺特环 ，元素皆属于
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
置换 仍是正则序列，而且这类序列中的极大者都具相同长度。
假设同上，并固定一个理想
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset R}
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
I-深度 为元素皆属于
I
{\displaystyle I}
M
{\displaystyle M}
d
e
p
t
h
I
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}
法文 文献中常记作
p
r
o
f
I
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {prof} _{I}(M)}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
d
e
p
t
h
I
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(R)}
d
e
p
t
h
I
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}
Ext函子 刻划为使得
E
x
t
n
(
R
/
I
,
M
)
≠
0
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0}
n
{\displaystyle n}
下列等式将深度问题化约到局部环的情形：
d
e
p
t
h
I
(
M
)
=
sup
p
⊃
I
(
M
p
)
{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})}
以下定理揭示了深度与射影维度 的关系。
定理 （Auslander-Buchsbaum）：设
A
{\displaystyle A}
诺特环 ，
M
{\displaystyle M}
A
{\displaystyle A}
p
d
A
(
M
)
+
d
e
p
t
h
A
(
M
)
=
d
e
p
t
h
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}
V.I. Danilov, Depth of a module , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry . Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
