在抽象代数中,一个环
上的平坦模是一个
-模
,使得函子
保持序列的正合性;若此函子还是忠实函子,则称之为忠实平坦模
域上的向量空间都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部诺特环上的有限生成模,平坦性、射影性与自由性三者等价。
自塞尔的论文《代数几何与微分几何》以降,平坦性便在同调代数与代数几何中扮演重要角色。其几何意义甚深,详见条目平坦态射。
当
为交换环,一个
-模的平坦性等价于
是个从
-模到
-模之正合函子。
将环
对一个积性子集
的局部化
视作
-模,则它是平坦的。
当
是诺特环而
是有限生成
-模时,平坦性在下述意义等价于局部自由模:
是平坦
-模当且仅当对任何素理想
,局部化
是自由
-模。事实上,对条件中的
仅须考虑极大理想即可。
当
非交换时的定义须作如下修改:假设
是左
-模,则称之左平坦模,当且仅当对
的张量积将右
-模的正合序列映至阿贝尔群的正合序列。
环上的张量积总是右正合函子,所以左
-模
是平坦模的充要条件是:对任何右
-模的单射
,取张量积后的同态
仍为单射。
一般来说,平坦模的归纳极限仍是平坦模;此陈述可由
与
的伴随性质形式地推出。平坦模的子模与商模不一定是平坦模,然而我们有下述定理:一个平坦模的同态像是平坦模,当且仅当其核为纯子模。
Lazard 在1969年证明了:模
平坦的充要条件是它可表成有限生成自由模的归纳极限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。
一个阿贝尔群是平坦
-模的充要条件是其中没有挠元。
平坦性也可以用Tor函子的消没性表示。Tor函子是张量积的左导函子。一个左
-模
的平坦性等价于
;类此,一个右
-模
的平坦性等价于
。藉Tor函子的长正合序列可以导出下列关于基本性质:
考虑短正合序列

- 若
平坦,则
亦然。
- 若
平坦,则
亦然。
- 若
平坦,
不一定平坦;若假设
是
的纯子模而
平坦,则可推出
与
皆平坦。
设
为交换环,
为一理想,则我们有下述平坦性的局部判准。
定理(Bourbaki). 以下诸条件等价:
是平坦
-模。
是平坦
-模,且
。
是平坦
-模,且典范同态
为同构。
- 对所有
-模
,有
。
- 对所有
-模
,有
。
- 对所有
,
是平坦
-模。
是平坦
-模,且典范态射
为同构。
此判准在代数几何中的用途尤大。
一个模
的平坦分解是如下形式的正合序列:

使得其中每个
都是平坦模。
任何射影分解都是平坦分解。
一个
-模
被称作忠实平坦的,当且仅当
是个忠实的正合函子。这也就是说:
是个平坦
-模。
- 典范映射
是单射。
当
为交换环时,有以下几种等价的刻划:
是忠实平坦的。
是平坦的,且
。
是平坦的,且对所有极大理想
都有
。
- 一个序列
正合,当且仅当
正合。
- Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
- Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.