魏爾施特拉斯逼近定理

斯通-魏爾施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有兩個：

• 閉區間上的連續函數可用多項式級數一致逼近。
• 閉區間上周期為$2\pi$的連續函數可用三角函數級數一致逼近。

第一逼近定理可以推廣至$\mathbb {R} ^{n}$上的有界閉集

證明

• 第一逼近定理與第二逼近定理可以互相推導。
• 第二逼近定理的證明：

設$f(t)$為周期為$2\pi$的連續函數，定義$f_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}a^{\left|n\right|}e^{int}$為一三角級數。 首先證明$\left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty }^{+\infty }$，為一個正交函數系：

$\langle e^{int},e^{imt}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(n-m)t}\,dt=0$

$\langle e^{int},e^{int}\rangle =||e^{int}||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|e^{int}\right|^{2}\,dt=1$(因為$\left|e^{int}\right|=1$)。 故令$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{int}$，於是我們可以求出$c_{n}=\langle f(t),e^{int}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}f(t)e^{-int}\,dt$。 將$c_{n}$代入 $f_{a}(t)$ 的定義式中，有：

$f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)})f(s)\,ds$。

下面對積分號中的和式S求和，令$w=ae^{i(t-s)}$，那麼就有：$S=...+{\bar {w}}^{2}+{\bar {w}}+1+w+w^{2}+...$，分成正負兩部分求和，可知:

$S=1+W+{\bar {W}}=1+2Re\{W\}={\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}$ 代回原積分，有$f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}f(s)\,ds$，這就是f(s)的泊松積分。其中$p_{a}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(\theta )+a^{2}}}$稱為泊松核。故有：

$f_{a}(t)=\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)f(t-x)\,dx$

我們要檢驗的的是$\left|f_{a}(t)-f(t)\right|$在$a\to 1$時的情況，可以證明：

$\left|f_{a}(t)-f(t)\right|<\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx$

由$f(t)$的一致連續性，可以證明，上式在$a\to 1$時，滿足一致收斂的條件，故我們可以用$f_{a}(t)$來一致逼近$f(t)$。

參閱

• 傅里葉級數