拉格朗日中值定理，也简称均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，为罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。
如果函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 满足：
则 ∃ ξ , a < ξ < b {\displaystyle \exists \xi ,\;a<\xi <b} ，使 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 。
令 g ( x ) = f ( b ) − f ( a ) b − a ⋅ ( x − a ) + f ( a ) − f ( x ) {\displaystyle g(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)} 。那么
1. f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( a + θ ( b − a ) ) ( b − a ) , 0 < θ < 1 {\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1} ;
2. f ( a + h ) − f ( a ) = f ′ ( a + θ h ) h , 0 < θ < 1 {\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)h,0<\theta <1} . 或 f ( x + Δ x ) − f ( x ) = f ′ ( x + θ Δ x ) Δ x , 0 < θ < 1 {\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x,0<\theta <1} .
满足：
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
上连续;
内可微分;
，使
。
拉格朗日中值定理的几何意义：函数在点
处的切线，平行于
和
两点之间的连线。
。那么
在上连续，在上可微（导），
。由罗尔定理，存在至少一点
，使得
。即。
;
.
或
.
