数列(英语:Number sequence)是由数字组成的序列。另一种略为抽象的说法是——以正整数为定义域、值域是一个数系的函数。级数也是一种数列,不过它的每一项是另外一个数列的部分和。在微积分的教材中经常讨论的数列是实数序列和实数级数。一般的“序列”则范围更广,可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在计算理论中,数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。
由于最一般的数为复数,可以作如下的定义:[1]
在教学上常会如下标示有限数列,来增进对定义的直观理解:

以上表达式中的每一个数被称为这个数列的“项”。
为数列的“第一项”、
为“第二项”,以此类推。
被称为有限数列的项数。数列中的第一项常称为“首项”,最后一项则称为“末项”。注意有限数列也可以设为
,换句话说,把
加入数列的定义域,并以第零项
作为首项。无穷数列只有首项,没有末项,但类似的,也有人把
踢出无穷数列的定义域,让无穷数列的首项为
。
由数列中各个项的和组成的数列称为“级数”,换句话说
一般会将
写为
,甚至更直观的
来凸显级数源于求和”的直观概念。
级数的概念可以推广至数列以外的序列,比如说函数序列的函数级数。
- 若对所有 n ∈ Z+ ,an+1 ≥ an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为“递增数列”。把 ≥ 换成 > ,则称为“严格递增数列”。
- 若对所有 n ∈ Z+ ,an+1 ≤ an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为“递减数列”。把 ≤ 换成 < ,则称为“严格递减数列”。
- 若对所有 n ∈ Z+ ,an+1 = an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为“常数数列”。
- 若数列
的项数有限,则 ⟨ak⟩ 为“有限数列”。
- 若数列
的项数无限,则 ⟨ak⟩ 为“无穷数列”。
- 若对所有 n ∈ Z+ ,M ≤ an ≤ N ,则称数列 ⟨ak⟩ 为“有界数列”。 M 称为“下界”, N 称为“上界”。
- 若对数列 ⟨ak⟩ ,上述的 M 、 N 不存在,则称数列 ⟨ak⟩ 为“无界数列”。
收敛性是数列的一个重要性质。如果一个数列逐渐趋近于某一个值,就称该数列为收敛数列,否则称为发散数列。
简单的说,一个数列
有极限,便是它的数列中的元素逐渐地越来越靠近
(称为极限值),但是它们仍然任意得很靠近极限值
,而不一定恰好相等。
举例来说:当
时,随着n的数字增加,可以看到它逐渐趋向于0。当
时,随着n的数字增加,可以看到它逐渐趋向于2。
此外,值得注意的是,当一个数列有极限值时,它的极限值一定是唯一的。一般来说,当数列收敛,我们会记
。
我们说一个实数数列
收敛于实数
;如果对任意的
,存在一个正整数
,使得对所有的
,有
。
- 等差数列:是一种特殊数列。数列中,从第二项起,每一项与前一项的差相等。
- 例如数列
。
- 这就是一个等差数列,因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等,都等于
;
与
的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差,符号为
,但是
可为0。
- 若设首项
,则等差数列的通项公式为
。
- 多阶等差数列:又称高阶等差数列,中国则称之为“素数相关数列”。
- 把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,如果这个新的数列是普通等差数列,原数列就称为二阶等差数列。
- 由此类推,把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列,如此进行下去,直到最后的数列如果是普通等差数列,那么原数列就是多阶等差数列。
- 普通等差数列可以视为一阶等差数列,因而常数数列实际就是零阶等差数列。
- 等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。
- 例如数列
。
- 这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,
与
的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为
。
- 若设首项
,则等比数列的通项公式为
。
- 斐波那契数列:是一种特殊数列。它的特点是:首两项均是1,从第3项起,每一项均为前两项的和。
- 以数学符号表示,即
,且对于
,
。
- 斐波那契数列的通项公式为
。
- 素数数列:目前找不到规律的特殊数列,即:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………
- 正负相间:
或
- 隔项有零:
或![{\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3fc43f81844edf42a5ed3c4be158849984f70ea)
通常对第1项到第
项求和,记为
。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。
一个特殊数列求和:奇数数列。1,3,5,7,9,...。其和为项数
的平方。例如:1+3=22,1+3+5=32。
通常,从实际问题中会先得到一个递推关系式,但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。
求出该数列的前数项,归纳其通项公式,然后用数学归纳法证明公式正确。
数学归纳法是最基本的方法,但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律,则不能使用此方法。
给定数列差
时逐差全加,例如:
,
, 求

给定数列比
时逐差全乘,例如:
,
,求

如果已知数列和的公式,那么通项的求解非常容易。由
可知
把
看成一个数列,可以先对
进行求解,然后得出
。
换元法用于从形式上简化表达式,以突出问题的本质。换元法一般不单独使用,而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法,还有用得很少的双曲函数换元法。
对于形如齐次分式的递推关系,可利用不动点来推导。
已知
,其中
、
、
都是常数,求
。
求这类数列的通项公式,一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。
- 如果
,那么这个式子就可以化成下面的形式:
。
求出
,那么数列
就是一个等比数列,从而求出通项公式。
- 如果
,这个递推关系就不能化为等比数列。如果
,那么它就是等差数列。另外,当
的时候,它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到,等和数列也可以化成一个等比数列。
- 除此之外也可以这样将之化成等比数列:


两边相减就有:
,如此就化成了一个等比数列。
已知
,其中
、
、
、
都为常数,求
;
与上述数列一样,它们一定可以化成下面的形式:

求出对应系数,于是就转化成了前面那种形式,然后就可以求出数列
的通项公式,然后求出
的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。
其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法,这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简,与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。