一致收敛

一致收敛，或称均匀收敛，（英语：Uniform convergence），是数学中关于函数序列收敛的一种定义。其概念大致可想成：若函数序列 f_n 一致收敛至函数 f，代表对所有定义域中的点 x，f_n(x) 收敛至 f(x) 会有（大致）相同的收敛速度。由于它对收敛要求较逐点收敛更强，故能保持一些重要的分析性质，例如连续性、黎曼可积性。

定义

当函数序列中的函数的到达域是 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 时，此时均匀收敛的定义为：

让 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是定义在 $S$ 上，到达域为 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$的一组函数序列，若序列 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 均匀收敛至函数 $f$ 在集合 $S$ 上，即表示对所有 $\epsilon >0$，存在 $N\in \mathbb {N}$，使得当所有 $n\geq N$ 且 $x\in S$ 时有

$|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .$

可将这定义推广到一般的度量空间：

设 $S$ 为一集合，$(M,d)$ 为度量空间。若对一组函数序列 $f_{n}:S\to M$，存在函数 $f:S\to M$ 满足 对所有 $\epsilon >0$，存在 $N\in \mathbb {N}$，使得当所有 $n\geq N$ 且 $x\in S$ 时有

$d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon ,$

则称序列 $f_{n}$ 一致收敛到 $f$。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 $N$的选取仅与 $\epsilon$ 相关，而在逐点收敛中 $N$ 还多了与点 $x$ 相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子

在[-1,1]上一致收敛到绝对值函数的多项式序列

例子一：对任何$[0,1]$上的连续函数$f$，考虑多项式序列

$P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$

可证明$P_{n}$在区间$[0,1]$上一致收敛到函数$f$。其中的$b_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$称为伯恩斯坦多项式。

透过坐标的平移与缩放，可知在任何闭区间上都能用多项式一致地逼近连续函数，这是斯通-维尔斯特拉斯定理的一个建构性证明。

逐点收敛而非一致收敛的例子

例子二：考虑区间$[0,\pi ]$上的函数序列$f_{n}(x):=\sin ^{n}(x)$，它逐点收敛到函数

$f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}$

然而这并非一致收敛。直观地想像：当$x$愈靠近$\pi /2$，使$f_{n}(x)$接近$0$所需的$n$便愈大。可以依此想法循定义直接证明，也可以利用下节关于连续的性质证明，因为在此例中$f_{n}(x)$皆连续，而$f(x)$不连续。

性质

让 $(f_{n})$ 为一组函数序列，到达域为 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$，此时有下述性质：

• 连续性：若函数序列 $(f_{n})$ 均匀收敛至函数 $f$，则有：

1. 假设函数序列的定义域是闭包（closure）集合 $I$，且 $a$ 是 $I$ 的中的一点。若每个 $f_{n}$ 都在 $a$ 点连续，则 $f$ 也在 $a$ 点连续。
2. 若对集合 $I$ 的每个紧致子集 $J$，每个 $f_{n}$ 都在 $J$ 上连续，则 $f$ 在 $I$ 上连续。

• 与积分的交换：令 $(f_{n})$ 为定义在紧致区间 $I$ 的函数序列，且序列 $(f_{n})$ 均匀收敛至函数 $f$。若每个 $f_{n}$ 都是黎曼可积，则 $f$ 也是黎曼可积，而且

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} x=\int _{S}f\,\mathrm {d} x.\quad \quad$

• 与微分的交换：可微函数序列 $(f_{n})$ 均匀收敛至函数 $f$，并不能保证 $f$ 是可微的，还需要对该函数序列的微分，$(f'_{n})$，做些限制，请参看以下定理：

让 $(f_{n})$ 为定义在闭区间 $[a,b]$ 的可微函数序列，且存在一点 $x_{0}\in [a,b]$ 使得极限 $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})$ 存在（且有限）。若序列的微分 $(f'_{n})$ 在区间 $[a,b]$ 一致收敛到函数 $g$，则序列 $(f_{n})$ 均匀收敛至函数 $f$ 且 $f$ 亦是可微函数，且有：

$f'=g=\lim _{n\to \infty }f'_{n}$。

文献

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156（1918）
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X