特征方程式(characteristic equation)或辅助方程式(auxiliary equation)[1]为数学名词,是对应n阶微分方程[2]或差分方程[3][4]的n次代数方程式。只有线性齐次常系数的微分方程或差分方程才有特征方程式[1]。考虑一微分方程,其因变量为y,an, an − 1, ..., a1, a0为常数

其特征方程式如下

根据其解r1, r2, ..., rn可以产生微分方程的通解[1][5][6]。而一个线性差分方程

也有其特征方程式

特征方程式的根也可以提供动态方程的特性信息。若是一个自变量为时间的微分方程,其因变量稳定的充份必要条件是每一个根的实部都是负值。若是差分方程,稳定的充份必要条件是每一个根的绝对值都小于1。针对这两种系统,若是有复数根,表示其解会振荡。
线性常系数常微分方程的积分求解法是由莱昂哈德·欧拉发现,他也发现了其解的特性和代数的“特征方程”有关[2]。后来法国科学家奥古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及欧拉的特征方程,而且提到不少细节[2][6]。
考虑常系数的线性齐次微分方程
an, an − 1, ..., a1, a0,

假设y(x) = erx,而指数函数erx的导数是本身的倍数,y′ = rerx, y″ = r2erx,y(n) = rnerx。因此上式中的每一项都会是erx的倍数。若r为特定值,可以让erx的倍数变为0,这样即可求解齐次微分方程[5]。为了求解r,可以将y = erx及其导数替换到微分方程中,可以得到
。
因为erx不会为零,因此其系数必须为零,可以得到以下的特征方程式

求解特征方程式中的r,可以求得微分方程的通解[1][6]。例如,若r为3,其通解为y(x) = ce3x,其中c为积分常数。
找到特征方程式的根r1, ..., rn,就可以找到微分方程的通解。特征方程式的根可能是实数或复数,可能都是不同的值,也可能会有相同的值(重根)。若特征方程式的根有相异的实根,另外有h个重根,或是k个复数的根,其解分别为yD(x), yR1(x), ..., yRh(x)及yC1(x), ..., yCk(x),因此通解为

以下是常系数的线性齐次微分方程

其特征方程为

将特征方程因式分解,可得到

可以看到r的解有一个单根,r1 = 3以及重根的复数根r2,3,4,5 = −1 ± i,因此其通解为

其中有常数c1, ..., c5。
根据应用在常系数线性齐次微分方程的叠加原理,若u1, ..., un是特定微分方程的n个线性无关的解,则c1u1 + ... + cnun也是其解,其中c1, ..., cn为任意常数[1][7]。因此,若特征方程有相异实根r1, ..., rn,则通解为
。
若特征方程式中有重复k次的根r1,可以确定yp(x) = c1er1x会是微分方程的解,不过这个解没有针对其他k − 1的根提供线性无关的解。因为r1为k次重根,可以将微分方程改写为[1]
.
因为yp(x) = c1er1x为其中的一个解,因此可以令通解为以下的形式y(x) = u(x)er1x,其中 u(x)是待确认的函数。将uer1x代入后可得

其中k = 1。上述的式子应用k次,可以得到

除以er1x后可得

上述式子当且仅当u(x)是k − 1次的多项式,因此u(x) = c1 + c2x + c3x2 + ... + ckxk − 1.[6]。因为y(x) = uer1x,因此通解中对应r1的解会是

若二阶微分方程有共轭复数根r1 = a + bi及r2 = a − bi,其对应的通解为y(x) = c1e(a + bi)x + c2e(a − bi)x。利用欧拉公式(eiθ = cos θ + i sin θ),可以将通解改写如下:

其中c1和c2是系数,不过可能不是实数,而且随初始条件而不同[6](因为y(x)是实数,c1 − c2需要是虚数或是零,c1 + c2为实数,为了要让等号右边为实数)
例如,若c1 = c2 = 1/2,可以得到特解y1(x) = eax cos bx,另外,若c1 = 1/2i及c2 = −1/2i,可以得到另一个独立的解y2(x) = eax sin bx。利用重叠原则,有r = a ± bi复根的常系数线性齐次微分方程,其通解如下:

上述的分析也可以应用在高阶微分方程,其特征方程式中也可能有非实数的共轭根。
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Edwards, C. Henry; Penney, David E. Chapter 3. Differential Equations: Computing and Modeling. David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. 2008: 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.
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