此条目的主題是抽象代数中的概念。关于“模”的其他含义,請見「
模 (消歧义) 」。
在數學的抽象代數 中,環 上的模 (英語:module )是對體 上的向量空間 的推廣,這裡不再要求向量空間裡的純量 的代數結構是體 ,進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群 的推廣,因為交換群與整數 環上的模相同[ 1] 。
因此,模同向量空間一樣是加法交换群 ;在環元素和模元素之間定義了乘積運算,并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的[ 註 1] 和分配律的。
模與群 的表示論 密切相關。模也是交換代數 和同調代數 的中心概念,并廣泛地應用于代數幾何 和代數拓撲 中。
假設
R
{\displaystyle R}
是環 (ring)且
1
R
∈
R
{\displaystyle 1_{R}\in R}
,
1
R
{\displaystyle 1_{R}}
是其乘法運算的單位元素 。左R -模 包括一個交換群
(
M
,
+
)
{\displaystyle (M,+)}
,以及一個映射(或運算)
⋅
:
R
×
M
→
M
{\displaystyle \cdot :R\times M\rightarrow M}
(該運算叫做純量乘法或數積,對
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
及
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
,此運算的值
⋅
(
r
,
x
)
{\displaystyle \cdot (r,x)}
會記作
r
x
{\displaystyle rx}
或是
r
⋅
x
{\displaystyle r\cdot x}
) ,並且滿足以下條件
對所有
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r,s\in R}
,
x
,
y
∈
M
{\displaystyle x,y\in M}
(
r
⋅
s
)
⋅
x
=
r
⋅
(
s
⋅
x
)
{\displaystyle (r\cdot s)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}
r
⋅
(
x
+
y
)
=
r
⋅
x
+
r
⋅
y
{\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}
(
r
+
s
)
⋅
x
=
r
⋅
x
+
s
⋅
x
{\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}
1
R
⋅
x
=
x
.
{\displaystyle 1_{R}\cdot x=x.}
有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素
1
R
{\displaystyle 1_{R}}
,所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件,並把以上的定義稱為"帶單位元(
1
R
{\displaystyle 1_{R}}
)的左模"。
左R -模
M
{\displaystyle M}
記作
R
M
{\displaystyle _{R}M}
,類似的右R -模
M
{\displaystyle M}
記作
M
R
{\displaystyle M_{R}}
。
右R -模
M
{\displaystyle M}
或
M
R
{\displaystyle M_{R}}
與左R -模的定義相似,只是環的元素在右邊,即其純量乘法是
⋅
:
M
×
R
→
M
{\displaystyle \cdot :M\times R\rightarrow M}
。在左R -模的定義中,環的元素
r
{\displaystyle r}
和
s
{\displaystyle s}
是在
M
{\displaystyle M}
的元素
x
{\displaystyle x}
的左邊。若
R
{\displaystyle R}
是可交換環 ,則左R -模與右R -模是一樣的,簡稱為R -模。
若
R
{\displaystyle R}
是一個域 ,則根據上述定義,R -模滿足R -向量空間 的定義。因此模是向量空間的推廣,有很多與向量間相同的性質,但一般模不存在基底 。
所有交換群
M
{\displaystyle M}
是一個在整數 環
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
上的模,對
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
及
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
,如果
n
>
0
{\displaystyle n>0}
,其純量乘法定義為是
n
x
=
x
+
x
+
⋯
+
x
{\displaystyle nx=x+x+\dots +x}
(
n
{\displaystyle n}
個
x
{\displaystyle x}
相加),如果
n
=
0
{\displaystyle n=0}
,
0
x
=
x
{\displaystyle 0x=x}
,對
n
<
0
{\displaystyle n<0}
,
(
−
n
)
x
=
−
(
n
x
)
{\displaystyle (-n)x=-(nx)}
。
若
R
{\displaystyle R}
是一個環而
n
{\displaystyle n}
是一個自然數 ,則
R
n
{\displaystyle R^{n}}
是一個R -模。
若
X
{\displaystyle X}
是一個光滑 流形 ,則所有由
X
{\displaystyle X}
映射至實數 的光滑函数
C
∞
(
X
)
{\displaystyle C^{\infty }(X)}
是一個環
R
{\displaystyle R}
。在
X
{\displaystyle X}
上的所有向量場 組成一個R -模。
所有
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
實數 矩陣
A
∈
M
n
×
n
(
R
)
{\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )}
與矩陣加法 和矩陣乘法 組成一個環
R
{\displaystyle R}
。 歐幾里得空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
是一個左R -模,當中矩陣
A
{\displaystyle A}
與向量
v
∈
R
n
{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}
之間的純量乘法就是矩陣乘法
A
v
{\displaystyle Av}
。
若
R
{\displaystyle R}
是一個環而
I
{\displaystyle I}
是其中一個 左理想 ,則
I
{\displaystyle I}
是一個左R -模。
假設
M
{\displaystyle M}
是左
R
{\displaystyle R}
-模,
N
{\displaystyle N}
是
M
{\displaystyle M}
的子集 。如果對於所有
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
及
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
,乘積
r
n
∈
N
{\displaystyle rn\in N}
(對右模,則考慮
n
r
{\displaystyle nr}
),則
N
{\displaystyle N}
是
R
M
{\displaystyle _{R}M}
的子模 (或更準確地,R -子集)。
令
M
{\displaystyle M}
和
N
{\displaystyle N}
為兩個左R -模,
f
{\displaystyle f}
為它們之間的一個映射 ,
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\rightarrow N}
。若對所有
m
,
n
∈
M
{\displaystyle m,n\in M}
及
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r,s\in R}
,
f
(
r
m
+
s
n
)
=
r
f
(
m
)
+
s
f
(
n
)
{\displaystyle f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)}
,則
f
{\displaystyle f}
為R -模同態 。與其他類型的同態 一樣,模同態保存了模的結構。
若M 是左R -模,則一個R 中元素r 之作用 定義為映射M → M ,它將每個x 映至rx (或者在右模的情況是xr ),這必然是阿貝爾群(M ,+)的群自同態 。全體M 的自同態記作EndZ (M ),它在加法與合成下構成一環,而將R 的元素r 映至其作用則給出從R 至EndZ (M )之同態。
如此的環同態R → EndZ (M )稱作R 在阿貝爾群M 上的一個表示 。左R -模的另一種等價定義是:一個阿貝爾群M 配上一個R 的表示。
一個表示稱作忠實 的,若且唯若R → EndZ (M )是單射 。以模論術語來說,這意謂若r 是R 的元素,且使得對所有M 中的x 都有rx =0,則r =0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z 或其某一商環Z/nZ 的忠實表示。
^ David S. Dummit; Richard M. Foote. Abstract Algebra (third edition). United States of America: John Wiley and Sons, Inc. 2004: 339. ISBN 978-0-471-43334-7 (英语) .