广义积分,又称为反常积分、异常积分(英语:Improper integral ),是对普通定积分的推广。
广义积分可以分成两类,第一类又称为无穷积分,指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为反常积分,指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。
第一类反常积分:上限或下限为无限的积分。
第一类反常积分是无穷积分,指积分区间的上限或下限中含有无穷 ∞ 的积分。数学定义如下:
设函数
在
上连续且可积。定义无穷积分:
。
类似的,设函数
在
上连续且可积。定义无穷积分:
。
当上述极限存在时,称该积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散。
例子如下:
;
,即发散;
,振动发散。
第一类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为无穷 ∞ 的积分。
设函数
在
上连续且可积。定义无穷积分:
。
或者取区间上任意一点
,分拆写成:
。
当上述极限同时存在时,称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时,称该积分发散。
例子如下:
;
,即发散。
在无穷积分的推广定义中,两个极限须分别处理,即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同。
设函数
在
上连续且可积。定义无穷积分的柯西主值:
。
若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。举例来说:
。
根据定义,若无穷积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。
第二类反常积分:被积函数的区间中含有不连续点。
第二类反常积分是反常积分,指积分区间的上限或下限是被积函数的不连续点。数学定义如下:
设函数
在
上连续且可积,但在点
不连续。定义反常积分:
。
类似的,设函数
在
上连续且可积,但在点
不连续。定义反常积分:
。
当上述极限存在时,称该积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散。
例子如下:
;
,即发散。
第二类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为不连续点,或上限及下限之间含有不连续点的积分。
设函数
在
上连续且可积,但在点
及
不连续。定义反常积分:
。
或者取区间上任意一点
,分拆写成:
。
设函数
在
及
上连续且可积,但在点
不连续。定义反常积分:
。
当上述极限同时存在时,称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时,称该积分发散。
例子如下:
;
,即发散。
在反常积分的推广定义中,两个极限须分别处理,即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同。
设函数
在
上连续且可积,但在点
及
不连续。定义反常积分的柯西主值:
;
设函数
在
及
上连续且可积,但在点
不连续。定义反常积分的柯西主值:
![{\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00b2df7a3dff8f8fad8553f37fb91514205a2a8)
若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。举例来说:
。
根据定义,若反常积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但反常积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。