代換積分法

換元積分法，又稱變數變換法（英語：Integration by substitution），是求積分的一種方法，由鏈式法則和微積分基本定理推導而來。

第一類換元法

設$f(x)\$為可積函數，$g=g(x)\$為連續可導函數，則有：

$\int _{\alpha }^{\beta }f(g)g'\mathrm {d} x=\int _{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(g)\mathrm {d} g$

第一類換元法的基本思想是配湊的思想。

第二類換元法

設$f(x)\$為可積函數，$x=x(g)\$為連續可導函數，則有：

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\int _{x^{-1}(\alpha )}^{x^{-1}(\beta )}f(x(g))x'\mathrm {d} g$

在遇到類似${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$、${\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$和${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$的式子時，通常採取分別令$x=\pm a\sec t$、$x=\pm a\tan t$或$x=\pm a\sin t$進行換元，得到關於$t$的一個原函數。如果要計算不定積分，則再由$x$與$t$的關係還原即可；如果要計算定積分，只需在變換後的積分限$\alpha$和$\beta$下計算相應的定積分即可。

例子

計算積分$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx$。

引入另外一個變數

設 $u=x^{2}+1$, 則 $du=2xdx$
當 $x=0$, $u=1$
當 $x=2$, $u=5$

${\begin{aligned}\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}{\underbrace {\cos({{x}^{2}}+1)} _{\cos u}\cdot \underbrace {2xdx} _{du}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin u\right]_{1}^{5}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}$

其中 $dx$ 換元為 $du$ 後，$\int _{0}^{2}$ 亦變為 $\int _{1}^{5}$，是因為其形式為黎曼－斯蒂爾傑斯積分，但在黎曼－斯蒂爾傑斯積分中變數的取值範圍應該還是 x 的取值範圍，而不是 g(x) 的取值範圍。

不引入另外一個變數

${\begin{matrix}\because &\displaystyle {{\frac {d}{dx}}({{x}^{2}}+1)=2x}\\\therefore &d({{x}^{2}}+1)=2xdx\\\end{matrix}}$

${\begin{aligned}\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}{\cos({{x}^{2}}+1)\cdot 2xdx}\\&={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(x^{2}+1)\,d(x^{2}+1)\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin(x^{2}+1)\right]_{1}^{5}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}$

參見

• 分部積分法