交换子

在抽象代数中，一个群的交换子（commutator）或换位子是一个二元运算子。设g及h 是群G中的元素，他们的交换子是g⁻¹ h⁻¹ gh，常记为[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。

群论

群 $G$ 中两个元素 $g$ 和 $h$ 的交换子为元素

[g, h] = g -1 h -1 gh

它等于群的幺元当且仅当 $g$ 和 $h$ 可交换（即 $gh = hg$ ）。

环论

环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：

[a,b]=ab-ba.

量子力学

量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即

[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}

；

其中； ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 均为量子力学的算符， $[{\hat {A}},{\hat {B}}]$ 是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称 ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 是对易的，即意味着 ${\hat {A}}$ 和 ${\hat {B}}$ 两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

量子力学中，交换子有以下特性:

[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]

[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]

[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]

[{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...

[k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]

[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下， ${\hat {x}}$ 是位置算符、 ${\hat {p}}$ 是动量算符、 ${\hat {L}}$ 是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而 $\delta _{ij}$ 是克罗内克δ、 $\epsilon _{ijk}$ 是列维-奇维塔符号。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系	更具体的形式
$[{\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=0$	$[{\hat {x}},{\hat {x}}]=0$ 、 $[{\hat {x}},{\hat {y}}]=0$
$[{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0$	$[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{x}]=0$ 、 $[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0$
$[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$	$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar$ 、 $[{\hat {x}},{\hat {p}}_{y}]=0$ 、 $[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]=0$ 、 $[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i\hbar$
$[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}$	$[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}$ 、 $[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}$ 、 $[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}$