線性代數
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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克萊姆法則或克拉瑪公式(英語:Cramer's rule / formula)是一個線性代數中的定理,用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,並非最有效率之法,因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過,這一定理在理論性方面十分有效。
一個線性方程組可以用矩陣與向量的方程來表示:
其中的
是一個
的方塊矩陣,而向量
是一個長度為n的行向量。
也一樣。
克拉瑪公式說明:如果
是一個可逆矩陣(
),那麼方程(1)有解
,其中
(1)
當中
是列向量
的第i行(行向量與列向量不一樣,解釋默認列向量)
當中
是列向量
取代了
的第i列後得到的矩陣。為了方便,我們通常使用
來表示
,用
來表示
。所以等式(1)可以寫成為:
。
設
為一個環,
就是一個包含
的係數的
矩陣。所以:

當中
就是
的行列式,以及
就是單位矩陣。
對於
元線性方程組
把係數矩陣
表示成行向量的形式
由於係數矩陣可逆,故方程組一定有解
.
設
,即
考慮
的值,利用行列式的線性和交替性質,有
於是
運用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程組。
已知:


使用矩陣來表示時就是:

當矩陣可逆時,x和y可以從克萊姆法則中得出:

- 以及

用3×3矩陣的情況亦差不多。
已知:



當中的矩陣表示為:

當矩陣可逆時,可以求出x、y和z:
、
以及 
克萊姆法則在解決微分幾何的問題時十分有用。
先考慮兩條等式
和
。其中的u和v是需要考慮的變量,並且它們互不相關。我們可定義
和
。
找出一條等式適合
是克萊姆法則的簡單應用。
首先,我們要計算
、
、
和
的導數:




將
和
代入
和
,可得出:


因為
和
互不相關,所以
和
的係數都要等於0。所以等式中的係數可以被寫成:




現在用克萊姆法則就可得到:

用兩個雅可比矩陣來表示的方程:

用類似的方法就可以找到
、
以及
。
克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。
克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。
克拉瑪公式在電子計算機出現後,被認為是難以實際用於計算的。當使用克拉瑪公式計算一個
階線性方程組時,所需乘法次數為
次。例如求解25階線性方程組時,總計乘法次數需要
(即4.03×1026)次,若計算機每秒能計算100億次,所需時間約12.79億年。相比之下,高斯消元法只需3060次乘法,對計算機而言易如反掌。[1]