线性代数
|
|
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
|
|
|
在线性代数中,酉矩阵(又译作幺正矩阵,英语:unitary matrix)指其共轭转置恰为其逆矩阵的复数方阵,数学描述如下:
- (数学定义),
- (推论)。
其中 U* 是 U 的共轭转置,In 是 n×n 单位矩阵。
酉矩阵是正交矩阵(元素均为实数)在复数的推广。
以下是一个酉矩阵的例子:
- 。
验证如下:
从定义可知,酉矩阵满足以下性质:
- 。
由此可见,酉矩阵与其共轭转置 U* 矩阵乘法可交换,是正规矩阵。
酉矩阵亦必定可逆,且逆矩阵等于其共轭转置:
- 。
酉矩阵 U 的所有特征值 λn ,都是绝对值等于 1 的复数:
- 。
因此,酉矩阵 U 行列式的绝对值也是 1:
- 。
酉矩阵 U 不会改变两个复向量 x 和 y 的点积:
- 。
更一般地说,所有希尔伯特内积也不会改变:
- 。
若 U 及 V 都是酉矩阵,则 UV 也是酉矩阵:
- 。
若 U 为 n×n 矩阵,则下列条件等价:
- U 是幺正矩阵
- U*是幺正矩阵
- U 的列向量是在 Cn 上的一组标准正交基
- U 的行向量是在 Cn 上的一组标准正交基
给定任意的 n ,所有 n 阶幺正矩阵的集合 G 与矩阵乘法“⋅”,都能构成一个群 (G, ⋅ )。
幺正对角化(又译作幺正對角化,英语:unitary diagonalisation),指把一个矩阵 A 对角化成以下形式:
- ,
其中 U 是酉矩阵,D 是对角矩阵。
根据谱定理,一个矩阵 A 可幺正对角化,当且仅当 A 是正规矩阵,即它与其共轭转置 A* 矩阵乘法可交换(A*A = AA*)。
由于酉矩阵本身也是一个正规矩阵,因此酉矩阵 U 也可幺正对角化:
- ,
其中 V 是酉矩阵,Σ 是对角矩阵。