线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
在数学 中，七维叉积 是七维空间 的向量 的双线性算子 。对于任何两个向量a 、b 在
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
a × b
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
[ 1] 叉积 相似在于，它们满足反交换律 且a × b a 和b ；不同在于，七维叉积不满足雅可比恒等式 。虽然每对三维向量只有一个叉积（不辨正负），但每对七维向量可以有很多叉积。七维叉积与八元数 的关系和三维叉积与四元数 的一样。
七维叉积是将三维以外的叉积广义化的一个方式，而它和三维叉积是唯二结果为向量、正交于两个向量，且大小与三维情况相同的二元双线性向量积。[ 2] 二重向量 的二元积。
×
e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
e1 0 e 3 −e 2 e 5 −e 4 −e 7 e 6
e2 −e 3 0 e 1 e 6 e 7 −e 4 −e 5
e3 e 2 −e 1 0 e 7 −e 6 e 5 −e 4
e4 −e 5 −e 6 −e 7 0 e 1 e 2 e 3
e5 e 4 −e 7 e 6 −e 1 0 −e 3 e 2
e6 e 7 e 4 −e 5 −e 2 e 3 0 −e 1
e7 −e 6 e 5 e 4 −e 3 −e 2 e 1 0
七维叉积可以用乘法表表示。凯莱 [ 3] [ 4] e i e j i 和j 从1到7）的叉积。例如，由该表可知，
e
1
×
e
2
=
e
3
=
−
e
2
×
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}}
乘法表可以用来计算任意两个向量的叉积。例如，如果要计算x × y 的e 1 部分，我们可以选出叉积等于e 1 的基向量：
(
x
×
y
)
1
=
x
2
y
3
−
x
3
y
2
+
x
4
y
5
−
x
5
y
4
+
x
7
y
6
−
x
6
y
7
{\displaystyle \left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}}
重复这个步骤，便可以计算其余六个部分。
七维叉积有480个乘法表，每个都对应一个满足定义的叉积。[ 5] [ 4]
e
i
×
e
j
=
ε
i
j
k
e
k
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {\times } \mathbf {e} _{j}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k}}
其中
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时，
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
该表左上的3 × 3区域代表三维的叉积。
欧几里得空间 V 中的叉积是V × V 到V 的双线性映射 ，将V 中的向量x 和y 映射到V 中的x × y ，其中x × y 具有以下性质：[ 1] [ 6]
x
⋅
(
x
×
y
)
=
(
x
×
y
)
⋅
y
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0}
|
x
×
y
|
2
=
|
x
|
2
|
y
|
2
−
(
x
⋅
y
)
2
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}
其中(x ·y )为欧几里得点积 ，而|x |为欧氏范数 。
第一个性质表明叉积垂直于其运算数，而第二个性质提供叉积的大小。设向量的夹角 为θ ，则表示式可以表达为[ 7] [ 8]
|
x
×
y
|
=
|
x
|
|
y
|
sin
θ
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta }
而它就是x 和y 的平面中邻边为x 和y 的平行四边形 的面积。[ 9]
若
(
x
⋅
y
)
=
0
{\displaystyle \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0}
|
x
×
y
|
=
|
x
|
|
y
|
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}
（如果假设x × x = 0是另一个公理。[ 10]
已知双线性、正交和大小的性质，非零叉积仅存在于三维和七维。[ 2] [ 8] [ 10] 胡尔维兹定理 有关：赋范可除代数 只能存在于1、2、4和8维。如果将代数限制在0、1、3或7个虚维度，叉积则可以由赋范可除代数的积形成，而非零叉积仅存在于三维和七维。[ 11]
三维叉积是唯一的（不辨正负），但任何一对七维向量都有很多叉积。设一对向量x 和y
∈
R
7
{\displaystyle \in \mathbb {R} ^{7}}
v ，其中|v | = |x ||y | sin θ 且v 在垂直于x 和y 的五维空间中。通过乘法表（和一个有关的基向量集），我们可以求出一个叉积使得x × y = v 。不像三维叉积一样，x × y = a × b 不代表a 和b 位于x 和y 所在的平面。[ 8]
根据定义，我们有以下性质和恒等式：
反交换律 ：
x
×
y
=
−
y
×
x
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x} }
标量三重积 ：
x
⋅
(
y
×
z
)
=
y
⋅
(
z
×
x
)
=
z
⋅
(
x
×
y
)
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}
马尔采夫恒等式 [ 8]
(
x
×
y
)
×
(
x
×
z
)
=
(
(
x
×
y
)
×
z
)
×
x
+
(
(
y
×
z
)
×
x
)
×
x
+
(
(
z
×
x
)
×
x
)
×
y
{\displaystyle (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y} }
x
×
(
x
×
y
)
=
−
|
x
|
2
y
+
(
x
⋅
y
)
x
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} }
一些性质成立于三维但不成立于七维，包括：
向量三重积 ：
x
×
(
y
×
z
)
=
(
x
⋅
z
)
y
−
(
x
⋅
y
)
z
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z} }
雅可比恒等式 ：[ 8]
x
×
(
y
×
z
)
+
y
×
(
z
×
x
)
+
z
×
(
x
×
y
)
≠
0
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\neq 0}
由于雅可比恒等式不成立，七维叉积使R 7 不具有李代数 的结构。
为定义某特定叉积，我们可以选定一个标准正交基 {e j e i e j 乘法表一节 只展示其中一个乘法表。[ 5]
确立一个乘法表后，我们可以将它应用于一般向量x 和y ：以基向量表示x 和y ，然后根据二线性展开x × y 。
×
e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
e 1 0 e 4 e 7 −e 2 e 6 −e 5 −e 3
e 2 −e 4 0 e 5 e 1 −e 3 e 7 −e 6
e 3 −e 7 −e 5 0 e 6 e 2 −e 4 e 1
e 4 e 2 −e 1 −e 6 0 e 7 e 3 −e 5
e 5 −e 6 e 3 −e 2 −e 7 0 e 1 e 4
e 6 e 5 −e 7 e 4 −e 3 −e 1 0 e 2
e 7 e 3 e 6 −e 1 e 5 −e 4 −e 2 0
如果我们为e 1 至e 7 指定另一个乘法表，根据反交换律，所得的叉积为：[ 8]
e
1
×
e
2
=
e
4
,
e
2
×
e
4
=
e
1
,
e
4
×
e
1
=
e
2
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},}
e
2
×
e
3
=
e
5
,
e
3
×
e
5
=
e
2
,
e
5
×
e
2
=
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},}
e
3
×
e
4
=
e
6
,
e
4
×
e
6
=
e
3
,
e
6
×
e
3
=
e
4
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},}
e
4
×
e
5
=
e
7
,
e
5
×
e
7
=
e
4
,
e
7
×
e
4
=
e
5
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},}
e
5
×
e
6
=
e
1
,
e
6
×
e
1
=
e
5
,
e
1
×
e
5
=
e
6
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},}
e
6
×
e
7
=
e
2
,
e
7
×
e
2
=
e
6
,
e
2
×
e
6
=
e
7
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},}
e
7
×
e
1
=
e
3
,
e
1
×
e
3
=
e
7
,
e
3
×
e
7
=
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}}
这个规则可以简化为
e
i
×
e
i
+
1
=
e
i
+
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}}
其中i = 1...7 mod 7，而指数i 、i + 1和i + 3可以循环移位。与反交换律结合，这个规则代表叉积。它直接产生乘法表中与零的对角线相邻的两个对角线。此外，根据内涵一节 的一个恒等式，
e
i
×
(
e
i
×
e
i
+
1
)
=
−
e
i
+
1
=
e
i
×
e
i
+
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}}
这个规则能产生其他对角线，如此类推。
如果要求出叉积x × y 的e j 部分，我们可以选定乘法表中所有出现的e j ，然后收集左列的对应x 部分和上行的对应y 部分，结果为：
x
×
y
=
(
x
2
y
4
−
x
4
y
2
+
x
3
y
7
−
x
7
y
3
+
x
5
y
6
−
x
6
y
5
)
e
1
+
(
x
3
y
5
−
x
5
y
3
+
x
4
y
1
−
x
1
y
4
+
x
6
y
7
−
x
7
y
6
)
e
2
+
(
x
4
y
6
−
x
6
y
4
+
x
5
y
2
−
x
2
y
5
+
x
7
y
1
−
x
1
y
7
)
e
3
+
(
x
5
y
7
−
x
7
y
5
+
x
6
y
3
−
x
3
y
6
+
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
e
4
+
(
x
6
y
1
−
x
1
y
6
+
x
7
y
4
−
x
4
y
7
+
x
2
y
3
−
x
3
y
2
)
e
5
+
(
x
7
y
2
−
x
2
y
7
+
x
1
y
5
−
x
5
y
1
+
x
3
y
4
−
x
4
y
3
)
e
6
+
(
x
1
y
3
−
x
3
y
1
+
x
2
y
6
−
x
6
y
2
+
x
4
y
5
−
x
5
y
4
)
e
7
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}\end{aligned}}}
本条目所用的两个乘法表的法诺平面。 本条目使用了两个乘法表，但七维向量乘法表不止这些。[ 5] 法诺平面 [ 12] [ 13] ijk → e i e j e k 第二个乘法表 中的e 1 结果由第二个法诺图中连接e 1 的三个路径得出：圆路径e 2 × e 4 、斜路径e 3 × e 7 和边路径e 6 × e 1 = e 5 。根据上述其中一个恒等式 ，第三个算式可以写成：
e
6
×
(
e
6
×
e
1
)
=
−
e
1
=
e
6
×
e
5
{\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5}}
或
e
5
×
e
6
=
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1}}
此外，在法诺图中，一条直线上的任意两个单位向量与该直线上的第三个单位向量有叉积关系，且正负取决于箭头（单位向量的排列）。
考虑到基向量的所有可能排列，总共有480个乘法表，所以总共有480种叉积。[ 13]
叉积也可以用几何代数 计算。叉积以外积 （exterior product）开始，而外积是结果为二重向量 的两个向量的积：
B
=
x
∧
y
=
1
2
(
x
y
−
y
x
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} )}
外积是双线性的，满足交错性且具有所求的大小，但结果不是向量。向量和叉积由这个二重向量的积或三重向量 赝标量 。上述二重向量与其中一个单位三重向量的积则是该二重向量的对偶 。
七维也有类似的计算方式，但由于三重向量组成一个35维空间，我们可以使用很多三重向量，但不是所有三重向量都有用。其积等于上述坐标变换的三重向量是
v
=
e
124
+
e
235
+
e
346
+
e
457
+
e
561
+
e
672
+
e
713
{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}}
与外积结合，得叉积为
x
×
y
=
−
(
x
∧
y
)
⌟
v
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v} }
其中
⌟
{\displaystyle \lrcorner }
[ 8] [ 14]
就像三维叉积可以用四元数 表示，七维叉积可以用八元数 表达。建立
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
正交补 ）的关系后，叉积由以下方程以八元数乘法表示：
x
×
y
=
I
m
(
x
y
)
=
1
2
(
x
y
−
y
x
)
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} )}
相反，设V 为一个叉积为某向量的七维欧几里得空间，则我们可以在
R
⊕
V
{\displaystyle \mathbb {R} \oplus V}
(
a
,
x
)
(
b
,
y
)
=
(
a
b
−
x
⋅
y
,
a
y
+
b
x
+
x
×
y
)
{\displaystyle (a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}
因此，具有该乘法的空间
R
⊕
V
{\displaystyle \mathbb {R} \oplus V}
[ 15]
叉积仅存在于三维和七维，因为我们必然可以在高一个维度的空间定义乘法，而该空间需要得证为赋范可除代数 。根据胡尔维兹定理 ，此类代数仅存在于1、2、4和8维，所以叉积必定存在于0、1、3和7维。零维和一维的叉积必然等于零，所以叉积仅存在于三维和七维。[ 16] [ 17]
七维叉积之所以不能满足雅可比恒等式，是因为八元数不满足交换律。事实上，
x
×
(
y
×
z
)
+
y
×
(
z
×
x
)
+
z
×
(
x
×
y
)
=
−
3
2
[
x
,
y
,
z
]
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}
其中[x , y , z ]是结合子
在三维，叉积在旋转群SO(3) 的作用下保持不变，所以x 和y 被旋转后，它们的叉积是x × y SO(7) 的作用下并非不变，但它在SO(7)的子群G2 [ 8] [ 15]
非零二元叉积仅存在于三维和七维。如果取消二元积的限制，其他维度也可以有叉积。[ 18] [ 19] 多重线性 且满足交错性的，而且结果是一个正交于所有输入向量a i n 维中，叉积最多只能接受n − 1超平行体 的体积，而它可以用格拉姆行列式 计算。叉积的条件是：
正交：
(
a
1
×
⋯
×
a
k
)
⋅
a
i
=
0
{\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0}
i
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle i=1,\ \dots \ ,k}
格拉姆行列式：
|
a
1
×
⋯
×
a
k
|
2
=
det
(
a
i
⋅
a
j
)
=
|
a
1
⋅
a
1
a
1
⋅
a
2
⋯
a
1
⋅
a
k
a
2
⋅
a
1
a
2
⋅
a
2
⋯
a
2
⋅
a
k
⋮
⋮
⋱
⋮
a
k
⋅
a
1
a
k
⋅
a
2
⋯
a
k
⋅
a
k
|
{\displaystyle |\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}}
格拉姆行列式是以a 1 , ..., a k
考虑到这些条件，非零叉积
在三维和七维中是二元积；
在n ≥ 3维中是n − 1个向量的积，而它是这些向量的外积的霍奇对偶 ；
在八维中是三个向量的积。 在八维中，三个向量的叉积可以用以下方程求出：
a
×
b
×
c
=
(
a
∧
b
∧
c
)
⌟
(
w
−
v
e
8
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})}
v 是七维所用的三重向量，
⌟
{\displaystyle \lrcorner }
w = −ve 12...7
除此之外，如上文所述 ，零叉积存在于一维和零维。偶数维度也有其他“叉积”。它是一元函数，用适当的二重向量通过左缩并，输出一个垂直于输入向量但大小与其相同的向量。在二维中，这个运算相当于将向量经90度旋转。
我们也可以解除多线性和大小的限制，考虑一个一般连续函数
V
d
→
V
{\displaystyle V^{d}\to V}
V
{\displaystyle V}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
d
≥
2
{\displaystyle d\geq 2}
叉积必定垂直于所有输入函数。
如果输入函数线性无关，则其叉积必定非零。 应用这些限制后，叉积只存在于
n
=
3
,
d
=
2
{\displaystyle n=3,d=2}
n
=
7
,
d
=
3
{\displaystyle n=7,d=3}
n
=
8
,
d
=
3
{\displaystyle n=8,d=3}
d
=
n
−
1
{\displaystyle d=n-1}
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![{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1df21788077be1f4fa1af5ce928cb33af23730)
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