隐函数

在数学中，隐式方程（英语：implicit equation）是形同 $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0$ 的关系，其中 $f$ 是多元函数。比如单位圆的隐式方程是 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 。

隐函数（implicit function）是由隐式方程间接定义的函数，比如 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 是由 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如 $y=\cos(x)$ 。

隐函数定理说明了隐式方程在什么情况下会给出定义良好的隐函数。

例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若 $f$ 是一个函数，那么 $f$ 的反函数记作 $f^{-1}$ , 是给出下面方程解的函数

x=f(y)

用x表示y。这个解是

y=f^{-1}(x).

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于 $y$ 的解

R(x,y)=x-f(y)=0.\,

例子

对数函数 $\ln x$ 给出方程 $x-e^{y}=0$ 或等价的 $x=e^{y}$ 的解 $y=\ln x$ 。这里 $f(y)=e^{y}$ 并且 $f^{-1}(x)=\ln x$ 。
朗伯W函数则可以解出 $x-ye^{y}=0$ 的 $y$ 值。

代数函数

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 $x$ 的代数函数给出一个方程中 $y$ 的解。

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,

其中系数 $a_{i}(x)$ 为 $x$ 的多项式函数。

代数函数在数学分析和代数几何中扮演重要角色，我们再拿单位圆方程式来当作代数函数的范例：

x^{2}+y^{2}-1=0.\,

那么 $y$ 的显函数解显然是：

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,

但其实我们不一定要把它的显函数解写出来，它也可以直接利用隐函数来表达。

对于y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四则运算和开方运算的显函数解, 但这并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（参见阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,

但是，我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

隐函数的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法一

把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

示例

把一元隐函数 $y=g(x)$ 看作二元函数 $f(x,y)=0$ ，若欲求 ${\frac {dy}{dx}}$ ，对 $f$ 取全微分，可得 $df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0$ ，经过移项可得 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}$

（式中 $f_{x}$ 表示 $f(x,y)$ 关于 $x$ 的偏导数 ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ ，以此类推）。

把2元隐函数 $y=g(x,z)$ 看作3元函数 $f(x,y,z)=0$ ，若欲求 ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ ，对 $f$ 取全微分，可得 $df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0$ 。

由于所求为 ${\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}$ ，令z为常数，即 $dz=0$ ，经过移项可得 ${\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}$

方法二

针对1元隐函数，把 $y$ 看作 $x$ 的函数，利用链式法则在隐函数等式两边分别对 $x$ 求导，再通过移项求得 ${\frac {dy}{dx}}$ 的值。
针对2元隐函数，把 $y,z$ 看作 $x$ 的函数，利用链式法则在隐函数等式两边分别对 $x$ 求导，令 $dz=0$ ，再通过移项求得 ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ 的值。

示例

针对 $y^{n}$ ：

${\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}$

针对 $x^{m}y^{n}$ ：

${\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}$

求 $\ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10$ 中y对x的导数。

为了方便辨别相应的导数部分，各项都以不同颜色分开（常数则以黑色表示）。

${\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10$

1.两边皆取其相应的导数，得出

${\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0$

2.移项处理。

${\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}$

3.提出导数因子。

${\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

4.移项处理。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}$