在实分析或数学分析中,达布积分(英语:Darboux integral)是一种定义一个函数的积分的方法,它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的,也就是说,一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的,并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单,并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。
一个闭区间
的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列
。每个闭区间
叫做一个子区间。定义
为这些子区间长度的最大值:
,其中
。
再定义取样分割。一个闭区间
的一个取样分割是指在进行分割
后,于每一个子区间中
取出一点
。
的定义同上。
精细化分割:设
以及
构成了闭区间
的一个取样分割,
和
是另一个分割。如果对于任意
,都存在
使得
,并存在
使得
,那么就把分割:
、
称作分割
、
的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。
于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。
设
为一个有界函数,又设
![{\displaystyle P:x_{0},\ldots ,x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2832229bc658fbe286d4ead00402b4391a5e56)
是闭区间
的一个分割。令:
![{\displaystyle M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c5ca1d93d5d8b747695d7c0b093f6c5332f86b)
![{\displaystyle m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17031ef039871a0991cf7e24a13b658f8c50b02)
下(绿色)和上(淡紫色)达布和
在分割
下的上达布和定义为:
![{\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a94da9b717baa7acc3eb4eb9e6ce5e86ab8e7b)
同样的有下达布和的定义:
![{\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfe9323891cb592b86fd289960b6954c1bcdb0d)
的上达布积分指的是所有上达布和的下确界:
是闭区间
的一个分割![{\displaystyle \;\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac96819bc2dbac3c2b4aad999b2ba3244516c503)
同样的
的下达布积分指的是所有下达布和的上确界:
是闭区间
的一个分割![{\displaystyle \;\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac96819bc2dbac3c2b4aad999b2ba3244516c503)
如果
那么
就称作达布可积的,并用
表示,记作
在区间
的达布积分。
- 对于任何给定的分割,上达布和永远大于等于下达布和。此外,下达布和被限制在以
为宽,以
为高的矩形下,占据
。同样,上达布和被限制在以
为宽,以
为高的矩形上。
![{\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb367d6382f3b3ea0ed86c0c7c530396f62f06ed)
![{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d619b0804d482219a05635c18e3fc6a3205c50)
- 对处于
的任意![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd13d61bc29ac1d3f5b3f00bb97e40c71e58bf8)
- 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令
是一个有界函数,则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6a8415c0cd1a088b1db05f02ec46013679df63)
- 对于一个常数
我们有
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b79afcae413fa87670f84eb00cd28431831bd6)
- 对于一个常数
我们有
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ca62a2dfc52e1df5687198edae9b518c9d7516)
- 考虑函数
定义为
![{\displaystyle F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd884d255dc6b83bb350161ef7d5d169293a6898)
那么
是利普希茨连续的。当
是用达布积分定义的,一个相似的结论也成立。
假设我们想证明函数
在区间
上是达布可积的,并且确定它的值。我们需要把区间
分割为
个等大的子区间,每个区间长度为
。我们取
个等大的子区间中一个作为
。
现在因为
在
上严格单增,在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样,在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在
中第
个子区间的起点是
,终点是
。那么在一个分割
上的下达布和就是
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9d5136be122292af60763e9e5c1d81fead9972)
类似地,上达布和为
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c2c468d5244b9b8e8434d9438d274cb7ecdac1)
由于
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2bc09f3ecdbc20e2d3c87edf1a89e632378eeb)
则对于任意
,我们得到对于
的任何分割
都满足
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79db3f9eeb430cdbfea8c04297e682ebbbd5f304)
得证
是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef7266625f41abb3c8b66debec812cbe91cf8a2)
如果我们有函数
定义为
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89e29e98f80fb4ddac2d4399bc7f0c561811b34)
由于有理数和无理数都是R的稠密子集,因而断定
在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割
我们有
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53219a61241091dae7dc2f3a2dfeba19ad209f2)
从中我们可以看出上下达布和不等。
对于更精细的分割,上达布和减小3公分,下达布和变大3公分
如果分割
比分割
“精细”,那么有
以及
。这是因为
实际上是将
中的若干个子区间再做分割,而分割后的子区间上
的上(下)确界必然比原来区间的上(下)确界小(大)。(见图)
如果
是同一个区间的两个分割(不一定要一个比另一个“精细”),那么
.
所以,
![{\displaystyle L_{f}\leq U_{f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdde330f01f50d4786f8f93a45c8df81b65abd90)
显然,一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说,如果
![{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d4a0ea7b4246ef16cbb4b440206f001652d947)
并且
![{\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bab87ec922e009ac8e57cb510a42ee6b6480b1)
共同构成区间上的一个取样分割
![{\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eaa3ccb99cb8faad17534a574ead81e16b9a811)
(正如黎曼积分的定义中那样),对应
和
的黎曼和为
,就有
![{\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff70314692f1d7b68f3842f71be3158c02ead7de)
由上可以看出,黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价(见黎曼积分)。如果一个函数
在区间
的达布积分存在,那么一个对于足够精细的分割,上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0(都趋近于共同的极限),因此比其更为精细的分割,黎曼和将介于上达布和与下达布和之间,于是趋于一个极限。同时,注意到对于一个分割,我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上(下)确界(由确界的定义)。这表明如果黎曼和趋于一个定值,则上下达布和之间的差将趋于0,也就是说达布积分存在。