古尔丁定理

古尔丁定理（英语：Guldinus theorem），最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗·古尔丁又重新发现了这个定理。

表面积

• 有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积$A$，等于曲线的长度$s$乘以曲线的几何中心经过的距离$d_{1}$：$A=sd_{1}$。

1. 例：设环面圆管半径为$r$，圆管中心到环面中心距离为$R$，把环面看成上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为$(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}rR$

若有平面连续曲线$y=f(x)$，求$x$在$[a,b]$时，曲线以$x$轴旋转所得的曲面表面积。可考虑一小段曲线，其几何中心便是$y$，曲线长度为${\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}$，因此这个曲面的表面积便是：

$2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\;\mathrm {d} x$。

体积

• 由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积$V$，等于平面形状面积$S$乘以平面形状的几何中心经过的距离$d_{1}$的积：$V=Sd_{1}$。

再考虑一般平面曲线下的面积的情况，可得旋转体体积$V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\;\mathrm {d} x$。