在抽象代数中,一个系数域为
的多项式
的分裂域(根域)是
的“最小”的一个扩域
,使得在其中
可以被分解为一次因式
的乘积,其中的
是
中元素。一个
上的多项式并不一定只有一个分裂域,但它所有的分裂域都是同构的:在同构意义上,
上的多项式的分裂域是唯一的。
称一个系数域为
的多项式
在
的某个扩域
中分裂,当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解(分裂)成最简单的一次因式的乘积:

其中的
,
。换句话来说,
的根都在
中。
使得
在其中分裂的扩域
有很多,譬如对于某个使得
分裂的的
,它任意的扩域
也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域,是指这样的一个扩域
:
- 在
里,
,可以分解为一次因式的乘积;
- 在
的任何真子域(不等于自身)里,
都无法如此分解。这样的扩域称为
在
上的分裂域。
如果
是有理数域
,多项式为
那么其分裂域
可以是在
中添加三次单位根
和2的立方根而得到的扩域:
。因为这时
可以写作:
![{\displaystyle P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8e05e0f93737db07630f99a69aa83c66d0726e)
同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:
- 多项式
在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
- 多项式
在准有限域 GF7上的分裂域是GF72.
多项式
在准有限域 GF7上的分裂域是GF7,因为在其上
已经分解完毕。
给定多项式
,在
上的分裂域
,假设在
里
,分解为

那么
。
对于域
的一个代数闭域扩域
和
上的一个多项式
,存在
在
上的唯一的一个分裂域
,使得
。
对于
的一个可分扩张
,
的伽罗瓦闭包是一个分裂域,也是
的包含
的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了
中任意元素
,在
上的极小多项式在
上的分裂域。