外代数

左图：由向量的有序集所定义出的定向

右图：反定向，对应到加上负号的外积

实外代数中，n 阶元素的几何诠释：n = 0（具有正负号的点），1（具有指向的线段，即向量），2（具有定向的平面元），3（具有定向的体积）。n个向量的外积可以图像化为n维几何物体（例如n维平行六面体, n维椭球）；其大小为超体积（hypervolume），其定向的定义由(n − 1)维边界以及物体内部在哪一侧来决定。

外代数（英语：Exterior algebra）也称为格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以纪念数学家赫尔曼·格拉斯曼。

数学上，向量空间$V$的外代数是一个特定有单位的结合代数，其包含了$V$为其中一个子空间。它记为$\land (V)$或$\land \cdot (V)$. 而它的乘法，称为楔积或外积，记为$\land$. 楔积是结合的和双线性的；其基本性质是它在$V$上是交错的，也就是：

$v\wedge v=0$，对于所有向量$v\in V$

这表示

$u\wedge v=-v\wedge u$，对于所有向量$u,v\in V$，以及

$v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0$，当$v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ 线性相关时。

值得注意的是，以上三性质只对$V$中向量成立，不是对代数$\land (V)$中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。$\land (V)$的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为$v_{1}\land v_{2}\land \ldots \land v_{k}$的元素，其中$v_{1},\ldots ,v_{k}$在$V$中，称为$k$-向量。所有$k$-向量生成的$\land (V)$的子空间称为$V$的$k$-阶外幂，记为$\land ^{k}(V)$。外代数可以写作每个$k$阶幂的直和：

$\Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V$

该外积有一个重要性质，就是$k$-向量和$I$-向量的积是一个$k+I$-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由$k$给出。这些$k$-向量有几何上的解释：2-向量$u\land v$代表以$u$和$v$为边的带方向的平行四边形，而3-向量$u\land v\land w$代表带方向的平行六面体，其边为$u$, $v$, 和$w$。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

定义及运算律

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。

定义: 设 $V$是域 $K$上的一个向量空间，让$T^{k}(V):={\underset {k}{\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} }}$则定义

$T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots$

令 $I$为 $V$的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如$v\otimes v$的张量生成的（其中$v\in V$任意），则将$V$上的外代数$\Lambda (V)$定义为商代数$T(V)/I$，即

$\Lambda (V):=T(V)/I,$

并且把$v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\in T^{k}V$的等价类 $[v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in T(V)/I$记为$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$，其中 $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$。设$k=0,1,2,\ldots \,,$ 称

$\Lambda ^{k}(V):=(T^{k}V)/I$

为$V$的$k$-阶外幂（$k$th exterior power of $V$），称$\land ^{k}(V)$中的元素为$k$-向量（$k$-multivector）。

注：

1. $\forall \lambda \in K$，当且仅当$\lambda =0$时才有$\lambda \in I$，因此，可以把$\Lambda ^{0}(V)=K/I$等同于$K$，并且把$[\lambda ]\in \Lambda ^{0}(V)$记为$\lambda$；基于类似的原因，可以把$\Lambda ^{1}(V)=V/I$等同于$V$，而且把$[v]\in \Lambda ^{0}(V)$记为$v$。这一点是前面所讲的能够把$[v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in \Lambda ^{k}(V)$记为 $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$的特例和前提。
2. 当$k>1$时，$k$-向量并不仅限于形如$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$的元素，例如，$v_{1}\wedge v_{2}+w_{1}\wedge w_{2}$也是2-向量，其中$v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in V$.
3. 理想$I$中的元素并不仅限于形如$v\otimes v$的张量，例如，
   1. $\forall v\in V,\forall t\in T(V)$, 必定有 $v\otimes v\otimes t\in I$和$t\otimes v\otimes v\in I$.
   2. $\forall v,w\in V$, 由于$(v+w)\otimes (v+w)\in I$和$v\otimes v\in I$以及$w\otimes w\in I$，显然有$v\otimes w+w\otimes v=(v+w)\otimes (v+w)-v\otimes v-w\otimes w\in I$，这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想$I$中。
   3. 由于上面的两个结论，$\forall v,w\in V$，我们有$v\otimes w\otimes v=v\otimes (w\otimes v+v\otimes w)-v\otimes v\otimes w\in I$，这是因为等式右边的每一项都在$I$中。对张量$t\in T(V)$的阶数作数学归纳法，则可以证明：$\forall v\in V$, $\forall t\in T(V)$，总有$v\otimes t\otimes v\in I$。
4. 设$k=2,3,\ldots$，则$\forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)$，$\alpha$作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元$t\in T^{k}(V)$，可以把这个$k$-阶的完全反对称张量等同于$\alpha$, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，$k$-向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用$\wedge$写出，则分别给出

(1) $\forall \lambda \in K,\alpha \in \Lambda (V)$, $\lambda \wedge \alpha =\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha .$

证明如下： 作为等价类，我们从$\alpha \in \Lambda (V)=T(V)/I$中任意挑选一个代表元$t$，则$t\in T(V)$而且$\alpha =[t]$。根据商代数的定义，

$\lambda \wedge \alpha =[\lambda ]\wedge [t]=[\lambda \otimes t]=[\lambda t]=\lambda [t]=\lambda \alpha .$

类似地，可以证明$\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha \,.$

(2) 根据注3.1中的内容，显然有$v\wedge v=0,\,\forall v\in V$.

(3) 根据注3.2中的内容，对任意$v,w\in V$成立着

$v\wedge w=-w\wedge v.$

注：即使$K$的特征为2，这个公式也是对的，只不过此时有$-1=1$而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算$\wedge :\Lambda (V)\times \Lambda (V)\rightarrow \Lambda (V)$满足结合律和分配律：

$(\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),$

$(\alpha +\beta )\wedge \theta =\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta ,$

$\alpha \wedge (\beta +\theta )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \theta ,$

其中$\alpha ,\beta ,\theta \in \Lambda (V)$都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量$a,b,t\in T(V)$分别是$\alpha ,\beta ,\theta$中的代表元，即$\alpha =[a]$, $\beta =[b]$, $\theta =[t]$, 则

$(\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =([a]\wedge [b])\wedge [t]=[a\otimes b]\wedge [t]=[(a\otimes b)\otimes t]=[a\otimes (b\otimes t)]=[a]\wedge [b\otimes t]=[a]\wedge ([b]\wedge [t])=\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),$

$(\alpha +\beta )\wedge \theta =([a]+[b])\wedge [t]=[a+b]\wedge [t]=[(a+b)\otimes t]=[a\otimes t+b\otimes t]=[a\otimes t]+[b\otimes t]=[a]\wedge [t]+[b]\wedge [t]=\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta .$

(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：$\forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)\,,\,\beta \in \Lambda ^{l}(V)\,,$

$\beta \wedge \alpha =(-1)^{kl}\alpha \wedge \beta .$

证明从略。

基底和维数

若$V$的维数是$n$而$\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}$是$V$的基，则集合

$\{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}$

是$k$阶外幂$\land ^{k}(V)$的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

$v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$

则每个向量$v_{j}$可以记为基向量$e_{i}$的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基$k$-向量前的系数可以用通过积$e_{i}$来描述$v_{j}$的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到$\land ^{k}(V)$的维数是n 取 k。特别的有， $\land ^{k}(V)=\left\{0\right\}$对于$k>n$.

外代数是一个分级代数，是如下直和

$\Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)$

其维数等于二项式系数之和，也就是$2^{n}$.

例子: 欧氏三维空间的外代数

考虑空间$\mathbb {R} ^{3}$，其基为$\left\{i,j,k\right\}$。一对向量

$\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k}$

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k}$

的楔积为

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} )+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} )+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$

其中$\left\{i\land j,i\land k,j\land k\right\}$是三维空间$\land ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$的基底。

再加一个向量

$\mathbf {w} =w_{1}\mathbf {i} +w_{2}\mathbf {j} +w_{3}\mathbf {k}$,

这三个向量的楔积是

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$

其中$i\land j\land k$是一维空间$\land ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$的基底。

空间$\land ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$是$\mathbb {R} ^{3}$, 而空间$\land ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$是$\mathbb {R}$。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间$\land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)$，这是八维向量空间

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}):=(a_{1},a_{2}\mathbf {i} +a_{3}\mathbf {j} +a_{4}\mathbf {k} ,a_{5}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} +a_{6}\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} +a_{7}\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} ,a_{8}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$.

那么，给定一对8维向量$a$和$b$, 其中$a$如上给出，而

$\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6},b_{7},b_{8})$,

$a$和$b$的楔积如下(用列向量表达),

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\\a_{1}b_{5}+a_{5}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{6}+a_{6}b_{1}+a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2}\\a_{1}b_{7}+a_{7}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\\a_{1}b_{8}+a_{8}b_{1}+a_{2}b_{7}+a_{7}b_{2}-a_{3}b_{6}-a_{6}b_{3}+a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}\end{pmatrix}}$.

容易验证8维楔积以向量$\left(1,0,0,0,0,0,0,0\right)$为乘法幺元。也可以验证该$\land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)$代数的楔积是结合的(也是双线性的):

$(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} =\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\qquad \qquad \forall \,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \Lambda (\mathbf {R} ^{3}),$

所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质，赝向量与赝标量

对三维欧几里得空间$E^{3}$可以建立一个线性同构$\phi :\Lambda ^{2}(E^{3})\rightarrow E^{3}$如下：任取$E^{3}$的右手的标准正交基${\boldsymbol {i}}$，${\boldsymbol {j}}$，${\boldsymbol {k}}$，规定$\phi$把${\boldsymbol {i}}\wedge \mathbf {j}$，${\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$，${\boldsymbol {k}}\wedge {\boldsymbol {i}}$分别映射为${\boldsymbol {k}}$，${\boldsymbol {i}}$，${\boldsymbol {j}}$，则$\phi$的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量${\boldsymbol {u}}$和${\boldsymbol {v}}$，这个线性同构把${\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}$映射为${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}$。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，$E^{3}$中平行四边形$ABCD$的面积向量可以表示为${\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}$. 经过推广之后，高维黎曼流形$(M,\mathbf {g} )$中的紧的二维曲面$\Sigma$的面积则可以用

$\int _{\Sigma }{\sqrt {h}}\,du^{1}\wedge du^{2}\,,\qquad h=\left|{\begin{array}{cc}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{array}}\right|\,,$

来计算（其中$h_{ab}$是度规张量场$\mathbf {g}$在$\Sigma$上的诱导度规 $\mathbf {h} =h_{ab}\,du^{a}\otimes du^{b}$ 的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。

在物理学中，向量（极向量）与赝向量（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是$E^{3}$中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是$\Lambda ^{2}(E^{3})$中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。

类似地，借助于右手的标准正交基，可以把$\Lambda ^{3}(E^{3})$中的元素$a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$映射为“标量"$a\in \mathbb {R} =\Lambda ^{0}(E^{3})$。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量${\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}$映射为向量${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}$以及把 3-向量$a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$映射为一个实数$a$的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

泛性质及构造

令$V$为一个域$K$（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。$\land (V)$是“最一般”的包含$V$的并有一个交替乘法在$V$上由单位的结合$K$-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 $K$-代数$A$和一个$K$-线性映射$j:V\rightarrow A$使得$j(v)j(v)=0$对于每个$v$属于$V$成立，则存在恰好一个由单位的代数同态$f:\land (V)\rightarrow A$使得$f(v)=j(v)$所有$v$属于$V$成立。

外代数的泛性质

要构造最一般的包含$V$的代数，而且其乘法是在$V$上交替的，很自然可以从包含$V$的最一般的代数开始，也就是张量代数$T(V)$，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取$T(V)$中由所有形为$v\otimes v$的元素生成的双边理想$I$，其中$v$属于$V$，并定义$\land (V)$为商

$\land (V)=T(V)/I$

（并且使用$\land$为$\land (V)$中的乘法的代号）。然后可以直接证明$\land (V)$包含$V$并且满足上述泛性质。

如果不是先定义$\land (V)$然后把外幂$\land ^{k}(V)$等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间$\land ^{k}(V)$然后把它们合并成为一个代数$\land (V)$。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

反对称算子和外幂

给定两个向量空间$V$和$X$，一个从$V^{k}$到$X$的反对称算子是一个多线性映射

$f:V^{k}\rightarrow X$

使得只要$v_{1},\ldots ,v_{k}$是$V$中线性相关的向量，则

$f\left(v_{1},\ldots ,v_{k}\right)=0$.

最著名的例子是行列式值，从$(K^{n})^{n}$到$K$的反对称线形算子。

映射

$w:V^{k}\rightarrow \land ^{k}(V)$

它关联$V$中的$k$个向量到他们的楔积，也就是它们相应的$k$-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在$V^{k}$上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子$f:V^{k}\rightarrow X$，存在一个唯一的线性映射$\varphi :\land ^{k}(V)\rightarrow X\mathrm {with} f=\varphi \circ w$。这个泛性质表述了空间$\land ^{k}(V)$并且可以作为它的定义。

所有从$V^{k}$到基域$K$的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若$V$是有限维的，维数$n$，则该空间可以认同为$\land ^{k}(V^{*})$，其中$V^{*}$表示$V$的对偶空间。特别的有，从$V^{k}$到$K$的反对称映射的空间是$n$取$k$维的。

在这个等同关系下，若基域是$R$或者$C$，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设$\omega :V^{k}\rightarrow K$和$\eta :V^{m}\rightarrow K$为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

$\omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}{\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )$

其中多线性映射的交替$\mathrm {Alt}$定义为其变量的所有排列的带符号平均：

${\rm {Alt}}(\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})$

注意： 有一些书中楔积定义为

$\omega \wedge \eta ={\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )$

指标记法

在主要由物理学家使用的指标记法中有：

$(\omega \wedge \eta )_{a_{1}\cdots a_{k+m}}={\frac {1}{k!m!}}\epsilon _{a_{1}\cdots a_{k+m}}^{b_{1}\cdots b_{k}c_{1}\cdots c_{m}}\omega _{b_{1}\cdots b_{k}}\eta _{c_{1}\cdots c_{m}}$

微分形式

令$M$为一个微分流形。一个微分k-形式$\omega$是$\land ^{k}T^{*}M$（$M$的余切丛的$k$阶外幂）的一个截面。等价的有：$\omega$是$M$的光滑函数，对于$M$的每个点$x$给定一个$\land ^{k}\left(T_{x}M\right)^{*}$的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

推广

给定一个交换环$R$和一个$R$-模$M$，我们可以定义和上文一样的外代数$\land (M)$，它是张量代数$T(M)$适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用

格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

参看：超空间，超代数，超群

相关课题

• 多线性代数
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