讨论:外代数

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几点异议

把 $V$ 所属的域记为 $F$ ，则 $\forall v\in V,v\wedge v=0$ 和 $\forall u,v\in V,u\wedge v=-v\wedge u$ 的等价性有一个前提： $F$ 的特征不能是 2。英文版的 en:Grassmann algebra 在一个脚注里提到了这一点。
在条目所给的定义里面，性质（2）和（3）等价于（1）（姑且不考虑 $\mathrm {ch} F=2$ 的情形），也就是说，三条里面仅有一条是独立的。然而，这是不够的。必须要添加一条：当 $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ 线性无关时， $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\neq 0$ 。如果没有这一条，把 $\wedge$ 定义成 $u\wedge v=0$ 对所有的 $u,v\in V$ 都成立的运算，则它满足条目里的所有要求，但是如此一个代数并不是外代数。
没有交代 $\Lambda ^{0}(V)$ 同构于 $V$ 所属的域 $F$ 。尽管可以从定义里面推断出来，不过恐怕还是说一句比较好。
在“泛性质及构造”一节里，双边理想 $I$ 应当是由所有形如 $v\otimes v$ 的元素生成的，而不是组成的，因为仅仅由这些元素是构不成一个理想的。
说“双边理想 $I$ 属于 $T(V)$ ”不太合适，因为这太容易让人误认为是说 $I\in T(V)$ 了。
据我所知，在国内很少说“酉结合代数”（我孤陋寡闻，实际上是没听说过），更多的是“带 1 的结合代数”或“带单位元的结合代数”。
$T(V)/I$ 应当是“商代数”，叫成“商”的是不是很少见？

—周彬 (留言) 2009年5月3日 (日) 23:02 (UTC)[回复]

关于“酉”和“幺”，在我印象中前者表“正交”的意义，而后者表“单位元”的意义。所以如果想追求简洁的话，这里的“酉结合代数”似乎应为“幺结合代数”，这也同“幺半群”的术语一致。

赵志壮 (留言) 2009年5月13日 (三) 07:42 (UTC)[回复]

用“幺”这个词还是比较通用的，我觉得可以注上。“酉”的确切含义似乎也不能说是正交，反正它和英文的 unitary 对应，它一定关联着复数域上某个线性空间的内积（物理学里面爱用 Hermitian 内积这个说法）。周彬 (留言) 2009年5月20日 (三) 14:14 (UTC)[回复]

建议

在 $k-$ 阶外幂的定义中说明 $k=0$ 和 $k=1$ 这两种特别情况： $\Lambda ^{0}(V)=F$ ， $\Lambda ^{1}(V)=V$ 。
中文版的行文方面，遵照汉语语法规则。特别是表条件的子句应放在表结论的子句前面。

赵志壮 (留言) 2009年5月13日 (三) 07:06 (UTC)[回复]

你指的是引言部分吧？在那里，至少

k=0

的情况应当说明。周彬 (留言) 2009年5月20日 (三) 14:18 (UTC)[回复]

求教

在物理学中对于 Grassmann 代数这个概念讲得很含糊，例如， $\Lambda ^{0}(V)$ 是不是被包含在这个代数中就语焉不详。所以，我的问题就是：在数学中，真地有 Grassmann 代数这个概念呢，还是纯粹从物理学中移植过来的？这个问题关系到 Grassmann 代数是不是真地和外代数完全一样这个问题（如果不同，那就是差一个 $\Lambda ^{0}(V)$ ），请大家指教。大家在回答的时候最好能给个文献。 ---- 周彬 (留言) 2009年5月20日 (三) 14:28 (UTC)[回复]

结构调整建议

我认为，应该把“泛性质及构造”一节提到最前面。周彬 (留言) 2009年6月10日 (三) 15:41 (UTC)[回复]

我直接在前面添加了一节，希望大家指正。周彬 (留言) 2009年6月10日 (三) 18:08 (UTC)[回复]