外代數

左圖：由向量的有序集所定義出的定向

右圖：反定向，對應到加上負號的外積

實外代數中，n 階元素的幾何詮釋：n = 0（具有正負號的點），1（具有指向的線段，即向量），2（具有定向的平面元），3（具有定向的體積）。n個向量的外積可以圖像化為n維幾何物體（例如n維平行六面體, n維橢球）；其大小為超體積（hypervolume），其定向的定義由(n − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。

外代數（英語：Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代數（Grassmann algebra），以紀念數學家赫爾曼·格拉斯曼。

數學上，向量空間$V$的外代數是一個特定有單位的結合代數，其包含了$V$為其中一個子空間。它記為$\land (V)$或$\land \cdot (V)$. 而它的乘法，稱為楔積或外積，記為$\land$. 楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在$V$上是交錯的，也就是：

$v\wedge v=0$，對於所有向量$v\in V$

這表示

$u\wedge v=-v\wedge u$，對於所有向量$u,v\in V$，以及

$v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0$，當$v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ 線性相關時。

值得注意的是，以上三性質只對$V$中向量成立，不是對代數$\land (V)$中所有向量成立。

外代數事實上是「最一般的」滿足這些屬性的代數。這意味着所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。$\land (V)$的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示，請參看下文。

形式為$v_{1}\land v_{2}\land \ldots \land v_{k}$的元素，其中$v_{1},\ldots ,v_{k}$在$V$中，稱為$k$-向量。所有$k$-向量生成的$\land (V)$的子空間稱為$V$的$k$-階外冪，記為$\land ^{k}(V)$。外代數可以寫作每個$k$階冪的直和：

$\Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V$

該外積有一個重要性質，就是$k$-向量和$I$-向量的積是一個$k+I$-向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由$k$給出。這些$k$-向量有幾何上的解釋：2-向量$u\land v$代表以$u$和$v$為邊的帶方向的平行四邊形，而3-向量$u\land v\land w$代表帶方向的平行六面體，其邊為$u$, $v$, 和$w$。

外冪的主要應用在於微分幾何，其中他們用來定義微分形式。因而，微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。

定義及運算律

外代數有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。

定義: 設 $V$是域 $K$上的一個向量空間，讓$T^{k}(V):={\underset {k}{\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} }}$則定義

$T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots$

令 $I$為 $V$的張量代數的理想（即雙邊理想），該理想是由所有形如$v\otimes v$的張量生成的（其中$v\in V$任意），則將$V$上的外代數$\Lambda (V)$定義為商代數$T(V)/I$，即

$\Lambda (V):=T(V)/I,$

並且把$v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\in T^{k}V$的等價類 $[v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in T(V)/I$記為$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$，其中 $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$。設$k=0,1,2,\ldots \,,$ 稱

$\Lambda ^{k}(V):=(T^{k}V)/I$

為$V$的$k$-階外冪（$k$th exterior power of $V$），稱$\land ^{k}(V)$中的元素為$k$-向量（$k$-multivector）。

註：

1. $\forall \lambda \in K$，當且僅當$\lambda =0$時才有$\lambda \in I$，因此，可以把$\Lambda ^{0}(V)=K/I$等同於$K$，並且把$[\lambda ]\in \Lambda ^{0}(V)$記為$\lambda$；基於類似的原因，可以把$\Lambda ^{1}(V)=V/I$等同於$V$，而且把$[v]\in \Lambda ^{0}(V)$記為$v$。這一點是前面所講的能夠把$[v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in \Lambda ^{k}(V)$記為 $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$的特例和前提。
2. 當$k>1$時，$k$-向量並不僅限於形如$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$的元素，例如，$v_{1}\wedge v_{2}+w_{1}\wedge w_{2}$也是2-向量，其中$v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in V$.
3. 理想$I$中的元素並不僅限於形如$v\otimes v$的張量，例如，
   1. $\forall v\in V,\forall t\in T(V)$, 必定有 $v\otimes v\otimes t\in I$和$t\otimes v\otimes v\in I$.
   2. $\forall v,w\in V$, 由於$(v+w)\otimes (v+w)\in I$和$v\otimes v\in I$以及$w\otimes w\in I$，顯然有$v\otimes w+w\otimes v=(v+w)\otimes (v+w)-v\otimes v-w\otimes w\in I$，這就有一個推論：所有的二階對稱張量都在理想$I$中。
   3. 由於上面的兩個結論，$\forall v,w\in V$，我們有$v\otimes w\otimes v=v\otimes (w\otimes v+v\otimes w)-v\otimes v\otimes w\in I$，這是因為等式右邊的每一項都在$I$中。對張量$t\in T(V)$的階數作數學歸納法，則可以證明：$\forall v\in V$, $\forall t\in T(V)$，總有$v\otimes t\otimes v\in I$。
4. 設$k=2,3,\ldots$，則$\forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)$，$\alpha$作為等價類含有唯一的一個完全反對稱的代表元$t\in T^{k}(V)$，可以把這個$k$-階的完全反對稱張量等同於$\alpha$, 詳見後面的「反對稱算子和外冪」一節。在有些文獻中，$k$-向量就是以這種方式定義的。

運算律 將上面的注中的內容用$\wedge$寫出，則分別給出

(1) $\forall \lambda \in K,\alpha \in \Lambda (V)$, $\lambda \wedge \alpha =\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha .$

證明如下： 作為等價類，我們從$\alpha \in \Lambda (V)=T(V)/I$中任意挑選一個代表元$t$，則$t\in T(V)$而且$\alpha =[t]$。根據商代數的定義，

$\lambda \wedge \alpha =[\lambda ]\wedge [t]=[\lambda \otimes t]=[\lambda t]=\lambda [t]=\lambda \alpha .$

類似地，可以證明$\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha \,.$

(2) 根據注3.1中的內容，顯然有$v\wedge v=0,\,\forall v\in V$.

(3) 根據注3.2中的內容，對任意$v,w\in V$成立着

$v\wedge w=-w\wedge v.$

註：即使$K$的特徵為2，這個公式也是對的，只不過此時有$-1=1$而已。

(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質，運算$\wedge :\Lambda (V)\times \Lambda (V)\rightarrow \Lambda (V)$滿足結合律和分配律：

$(\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),$

$(\alpha +\beta )\wedge \theta =\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta ,$

$\alpha \wedge (\beta +\theta )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \theta ,$

其中$\alpha ,\beta ,\theta \in \Lambda (V)$都是任意的。

以前兩條性質為例，其證明如下：設張量$a,b,t\in T(V)$分別是$\alpha ,\beta ,\theta$中的代表元，即$\alpha =[a]$, $\beta =[b]$, $\theta =[t]$, 則

$(\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =([a]\wedge [b])\wedge [t]=[a\otimes b]\wedge [t]=[(a\otimes b)\otimes t]=[a\otimes (b\otimes t)]=[a]\wedge [b\otimes t]=[a]\wedge ([b]\wedge [t])=\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),$

$(\alpha +\beta )\wedge \theta =([a]+[b])\wedge [t]=[a+b]\wedge [t]=[(a+b)\otimes t]=[a\otimes t+b\otimes t]=[a\otimes t]+[b\otimes t]=[a]\wedge [t]+[b]\wedge [t]=\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta .$

(5) 根據上面的(3)和(4)，用數學歸納法可以證明：$\forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)\,,\,\beta \in \Lambda ^{l}(V)\,,$

$\beta \wedge \alpha =(-1)^{kl}\alpha \wedge \beta .$

證明從略。

基底和維數

若$V$的維數是$n$而$\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}$是$V$的基，則集合

$\{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}$

是$k$階外冪$\land ^{k}(V)$的一個基。理由如下：給定任何如下形式的楔積

$v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}$

則每個向量$v_{j}$可以記為基向量$e_{i}$的一個線性組合；利用楔積的雙線性性質，這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為0；任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序，在交換任何兩個基向量的時候轉換符號。一般來講，最後基$k$-向量前的系數可以用通過積$e_{i}$來描述$v_{j}$的矩陣的子式來計算。

數一下基元素，我們可以看到$\land ^{k}(V)$的維數是n 取 k。特別的有， $\land ^{k}(V)=\left\{0\right\}$對於$k>n$.

外代數是一個分級代數，是如下直和

$\Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)$

其維數等於二項式系數之和，也就是$2^{n}$.

例子: 歐氏三維空間的外代數

考慮空間$\mathbb {R} ^{3}$，其基為$\left\{i,j,k\right\}$。一對向量

$\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k}$

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k}$

的楔積為

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} )+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} )+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$

其中$\left\{i\land j,i\land k,j\land k\right\}$是三維空間$\land ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$的基底。

再加一個向量

$\mathbf {w} =w_{1}\mathbf {i} +w_{2}\mathbf {j} +w_{3}\mathbf {k}$,

這三個向量的楔積是

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$

其中$i\land j\land k$是一維空間$\land ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$的基底。

空間$\land ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$是$\mathbb {R} ^{3}$, 而空間$\land ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$是$\mathbb {R}$。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間$\land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)$，這是八維向量空間

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}):=(a_{1},a_{2}\mathbf {i} +a_{3}\mathbf {j} +a_{4}\mathbf {k} ,a_{5}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} +a_{6}\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} +a_{7}\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} ,a_{8}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )$.

那麼，給定一對8維向量$a$和$b$, 其中$a$如上給出，而

$\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6},b_{7},b_{8})$,

$a$和$b$的楔積如下(用列向量表達),

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\\a_{1}b_{5}+a_{5}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{6}+a_{6}b_{1}+a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2}\\a_{1}b_{7}+a_{7}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\\a_{1}b_{8}+a_{8}b_{1}+a_{2}b_{7}+a_{7}b_{2}-a_{3}b_{6}-a_{6}b_{3}+a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}\end{pmatrix}}$.

容易驗證8維楔積以向量$\left(1,0,0,0,0,0,0,0\right)$為乘法單位元。也可以驗證該$\land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)$代數的楔積是結合的(也是雙線性的):

$(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} =\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\qquad \qquad \forall \,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \Lambda (\mathbf {R} ^{3}),$

所以該代數是有單位且結合的。

叉乘的實質，贗向量與贗純量

對三維歐幾里得空間$E^{3}$可以建立一個線性同構$\phi :\Lambda ^{2}(E^{3})\rightarrow E^{3}$如下：任取$E^{3}$的右手的標準正交基${\boldsymbol {i}}$，${\boldsymbol {j}}$，${\boldsymbol {k}}$，規定$\phi$把${\boldsymbol {i}}\wedge \mathbf {j}$，${\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$，${\boldsymbol {k}}\wedge {\boldsymbol {i}}$分別映射為${\boldsymbol {k}}$，${\boldsymbol {i}}$，${\boldsymbol {j}}$，則$\phi$的定義與右手的標準正交基如何選取無關。

不難看出，對任意向量${\boldsymbol {u}}$和${\boldsymbol {v}}$，這個線性同構把${\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}$映射為${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}$。這就是叉乘（向量積）的實質。例如，$E^{3}$中平行四邊形$ABCD$的面積向量可以表示為${\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}$. 經過推廣之後，高維黎曼流形$(M,\mathbf {g} )$中的緊的二維曲面$\Sigma$的面積則可以用

$\int _{\Sigma }{\sqrt {h}}\,du^{1}\wedge du^{2}\,,\qquad h=\left|{\begin{array}{cc}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{array}}\right|\,,$

來計算（其中$h_{ab}$是度規張量場$\mathbf {g}$在$\Sigma$上的誘導度規 $\mathbf {h} =h_{ab}\,du^{a}\otimes du^{b}$ 的坐標分量），由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。

在物理學中，向量（極向量）與贗向量（軸向量）兩個概念經常需要加以區分。從根本上說，向量是$E^{3}$中的元素，所以在空間反演轉換下不會改變方向；而贗向量其實是$\Lambda ^{2}(E^{3})$中的元素，故在空間反演轉換下會改變方向。

類似地，藉助於右手的標準正交基，可以把$\Lambda ^{3}(E^{3})$中的元素$a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$映射為「純量"$a\in \mathbb {R} =\Lambda ^{0}(E^{3})$。但是，在空間反演轉換下它就會原形畢露，所以稱它為贗純量。真正的純量在空間反演下是不變的，而贗純量在空間反演下會改變符號。

把 2-向量${\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}$映射為向量${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}$以及把 3-向量$a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}$映射為一個實數$a$的映射實際上是一個叫做霍奇對偶的線性映射。

泛性質及構造

令$V$為一個域$K$（在多數應用中，也就是實數域）上的向量空間。$\land (V)$是「最一般」的包含$V$的並有一個交替乘法在$V$上由單位的結合$K$-代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達：

任給一個有單位的結合 $K$-代數$A$和一個$K$-線性映射$j:V\rightarrow A$使得$j(v)j(v)=0$對於每個$v$屬於$V$成立，則存在恰好一個由單位的代數同態$f:\land (V)\rightarrow A$使得$f(v)=j(v)$所有$v$屬於$V$成立。

外代數的泛性質

要構造最一般的包含$V$的代數，而且其乘法是在$V$上交替的，很自然可以從包含$V$的最一般的代數開始，也就是張量代數$T(V)$，然後通過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取$T(V)$中由所有形為$v\otimes v$的元素生成的雙邊理想$I$，其中$v$屬於$V$，並定義$\land (V)$為商

$\land (V)=T(V)/I$

（並且使用$\land$為$\land (V)$中的乘法的代號）。然後可以直接證明$\land (V)$包含$V$並且滿足上述泛性質。

如果不是先定義$\land (V)$然後把外冪$\land ^{k}(V)$等同為特定的子空間，我們也可以先定義空間$\land ^{k}(V)$然後把它們合併成為一個代數$\land (V)$。這個方法在微分集合中常常用到，並在下節中有描述。

反對稱算子和外冪

給定兩個向量空間$V$和$X$，一個從$V^{k}$到$X$的反對稱算子是一個多線性映射

$f:V^{k}\rightarrow X$

使得只要$v_{1},\ldots ,v_{k}$是$V$中線性相關的向量，則

$f\left(v_{1},\ldots ,v_{k}\right)=0$.

最著名的例子是行列式值，從$(K^{n})^{n}$到$K$的反對稱線形算子。

映射

$w:V^{k}\rightarrow \land ^{k}(V)$

它關聯$V$中的$k$個向量到他們的楔積，也就是它們相應的$k$-向量，這也是反對稱的。事實上，這個映射是定義在$V^{k}$上的「最一般」的反對稱算子：給定任何其它反對稱算子$f:V^{k}\rightarrow X$，存在一個唯一的線性映射$\varphi :\land ^{k}(V)\rightarrow X\mathrm {with} f=\varphi \circ w$。這個泛性質表述了空間$\land ^{k}(V)$並且可以作為它的定義。

所有從$V^{k}$到基體$K$的反對稱映射組成一個向量空間，因為兩個這樣的映射的和、或者這樣一個映射和一個純量的乘積也是反對稱的。若$V$是有限維的，維數$n$，則該空間可以認同為$\land ^{k}(V^{*})$，其中$V^{*}$表示$V$的對偶空間。特別的有，從$V^{k}$到$K$的反對稱映射的空間是$n$取$k$維的。

在這個等同關係下，若基體是$R$或者$C$，楔積有一個具體的形式：它從兩個給定的反對稱映射得到一個新的反對稱映射。設$\omega :V^{k}\rightarrow K$和$\eta :V^{m}\rightarrow K$為兩個反對稱映射。和在多線性映射的張量積的情況一樣，楔積的變量數是每個映射的變量數之和。它定義如下：

$\omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}{\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )$

其中多線性映射的交替$\mathrm {Alt}$定義為其變量的所有排列的帶符號平均：

${\rm {Alt}}(\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})$

注意： 有一些書中楔積定義為

$\omega \wedge \eta ={\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )$

指標記法

在主要由物理學家使用的指標記法中有：

$(\omega \wedge \eta )_{a_{1}\cdots a_{k+m}}={\frac {1}{k!m!}}\epsilon _{a_{1}\cdots a_{k+m}}^{b_{1}\cdots b_{k}c_{1}\cdots c_{m}}\omega _{b_{1}\cdots b_{k}}\eta _{c_{1}\cdots c_{m}}$

微分形式

令$M$為一個微分流形。一個微分k-形式$\omega$是$\land ^{k}T^{*}M$（$M$的餘切叢的$k$階外冪）的一個截面。等價的有：$\omega$是$M$的光滑函數，對於$M$的每個點$x$給定一個$\land ^{k}\left(T_{x}M\right)^{*}$的元素。大致來講，微分形式是餘切向量的全局版本。微分形式是微分幾何的重要工具，其中，它們被用於定義德拉姆餘調和亞歷山大-斯潘尼爾餘調。

推廣

給定一個交換環$R$和一個$R$-模$M$，我們可以定義和上文一樣的外代數$\land (M)$，它是張量代數$T(M)$適當的商。它會滿足類似的泛性質。

物理應用

格拉斯曼代數在物理中有重要應用，它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。

參看：超空間，超代數，超群

相關課題

• 多線性代數
• 張量代數
• 對稱代數
• 克里福代數