餘因子矩陣

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。

定義

對一個 $n\times n$ 矩陣 $A$，在 $(i,j)$ 的子行列式（餘子式） $M_{ij}$ 定義為刪掉 $A$ 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式。令 $C_{ij}:=(-1)^{i+j}M_{ij}$，稱為 $A$ 在 $(i,j)$ 的餘因子（代數餘子式）。矩陣 $\mathrm {cof} (A):=(C_{ij})_{i,j}$ 稱作 $A$ 的餘因子矩陣（余子矩陣）。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣，記為 $\mathrm {adj} (A)$。

範例

考慮三階方陣

$B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}$

今將計算餘因子 $C_{23}$。子行列式 $M_{23}$ 是下述矩陣（在 $B$ 中去掉第 2 橫行與第 3 縱列）之行列式：

$M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}$

根據定義得到

$\ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})$

$\ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})$

$\ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.$

餘因子分解

對一 $n\times n$ 矩陣：

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

其行列式 $\det A$ 可以用餘因子表示：

$\ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}$

（對第 j 縱行的餘因子分解）

$\ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}$

（對第 i 橫列的餘因子分解）

古典伴隨矩陣

「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」，它與逆矩陣的計算有極大的關係。

$A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}$

將餘因子矩陣

${\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」：

$\mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

克萊姆法則

克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式：

$\mathrm {cof} (A)^{t}A=A\mathrm {cof} (A)^{t}=\det(A)I_{n}$

當 $\det A\neq 0$ 時，$A$ 的逆矩陣由下式給出：

$A^{-1}={\dfrac {\mathrm {cof} (A)^{t}}{\det A}}$

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

文獻

• Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部連結

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath