幺正算符

在泛函分析中，幺正算符（英語：unitary operator，或稱酉算符）是定義在希爾伯特空間上的有界線性算符U : H → H，滿足如下規律：

$U^{*}U=UU^{*}=I$

其中 U^∗ 是 U的厄米轉置, 而 I : H → H是恆等算符。 幺正算符具有如下性質：

1. U 保持了希爾伯特空間上內積〈 , 〉的不變性, 即對於希爾伯特空間上的任意矢量 x和y ,都有: $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .$
2. U 是滿射的。

這兩個條件還可以用兩個較弱的但是等價的定義表示出來：

1. U 保證了內積的不變
2. U 是一個稠集.

U保持內積不變可以推出U是個有界線性算符；而U是稠集保證了U的逆U⁻¹的存在。而U⁻¹ = U^∗是很明顯的。

所以，幺正算符是希爾伯特空間的自同構，即幺正算符保持空間結構的不變，比如說空間的線性疊加性和內積以及拓撲性質的不變。在群論中，一個給定希爾伯特空間H上的所有幺正算符組成了該空間的希爾伯特群，表示為Hilb(H)。

較弱的條件U^∗U = I說明算符U是等距算符。另一個條件U U^∗ = I說明算符是伴同等距算符。

單位元 是單位算符的一般化形式。在單位元*-代數中， 其中的單元U 被叫做 單位元, 當滿足如下條件：

$U^{*}U=UU^{*}=I$

其中 I 是單位算符。

範例

• 恆等函數就是一個平凡的幺正算符。

• 在一個R²上旋轉是一個最簡單但又很重要的幺正算符。旋轉並不改變一個矢量的長度或者兩個矢量的夾角。這個算符還可以推廣到R³中。

• 在一個複數的矢量空間C里，乘以一個絕對值是1的數，也就是，一個數形式為 e^{i θ} ，其中θ ∈ R，就是一個幺正算符。θ表示一個相位，相乘就是指乘以一個相位。注意到，θ的值是以2π 為模，但並不影響我們相乘的結果，所以這些在C空間內獨立的幺正算符是有周期性的。作為一個集合，這個周期對應的群，我們稱作U(1)。

• 一般地說，酉矩陣是在有限維的希爾伯特空間下的幺正算符，所以，幺正算符的概念包括了酉矩陣的概念。正交矩陣就是酉矩陣的一個特例，當酉矩陣中元素都為實數。他們是在Rⁿ上的幺正算符。

• 在整數索引的序列空間$\ell ^{2}$上的雙邊變換算符是單一的。一般而言，在一個希爾伯特空間中任何一個通過圍繞標準正交基變換作用的算符都是單一的。在有限維的情況下，這樣的算符就是排列矩陣。單邊變換是一個等距算子（isometry），他的共軛是一個半同等距算子（coisometry）。

• 傅里葉算符是一個幺正算符，也就是，一個執行傅里葉變換（有適當的歸一化）的算符。這是由帕塞瓦定理推得。

• 幺正算符在幺正表示中應用。

線性疊加性

幺正算符的疊加性並不是第一的性質，也就是說並不是強加上去的性質，而是可以從內積的線性疊加性和恆正行推導出來的性質：

$\langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle$

$=\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle$

$=|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle$

$=|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle$

$=0$

可以得到近似後

$\langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0$.

單位譜性

任意幺正算符U的譜在一個單位圓上。換言之，對幺正算符譜上的任意複數λ都有|λ| = 1。

參見

• 幺正變換
• 反幺正算符

參考文獻

• Halmos, Paul. A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics 19 2nd. Springer Verlag. 1982. ISBN 978-0387906850. 

• Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. 1972. ISBN 978-0387961132.