连续函数演算

在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。

在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。

动机

对于巴拿赫代数 ${\mathcal {A}}$ 中的成员 $a$ ，若要将其谱 $\sigma (a)$ 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 ${\mathcal {A}}$ 中成员 $a$ ，再证明这些 $a$ 的多项式序列收敛为 ${\mathcal {A}}$ 中元素。

谱集 $\sigma (a)\subset \mathbb {C}$ 上的连续函数由 $z$ 和 ${\overline {z}}$ 的形如 $p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)$ 的多项式来逼近，其中 ${\overline {z}}$ 表示 $z$ 的复共轭，而复共轭是复数上的一个对合。在将 $z$ 替换为 $a$ 时，为使 ${\overline {z}}$ 也有对应，须考虑 ${\mathcal {A}}$ 为巴拿赫*-代数，即配备了一个对合运算 $*$ 的巴拿赫代数，这时 ${\overline {z}}$ 就被替换为 $a^{*}$ 。由于多项式环 $\mathbb {C} [z,{\overline {z}}]$ 是交换环，为得到一个 ${\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}$ 的代数同态，须限制在 ${\mathcal {A}}$ 中的正规元（即满足 $a^{*}a=aa^{*}$ 的成员）上。

须保证：若多项式序列 $(p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}$ 在 $\sigma (a)$ 上一致收敛于一连续函数 $f$ ，则 ${\mathcal {A}}$ 上的序列 $(p_{n}(a,a^{*}))_{n}$ 收敛于 $f(a)\in {\mathcal {A}}$ 。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

定义

连续函数演算 — 设有单位元 $e$ 的C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 中有一正规元 $a$ ，而 ${\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 是 $a$ 谱集 $\sigma (a)$ 上的连续函数所构成的交换C*-代数。于是存在唯一一个*-同态 $\Phi _{a}\colon {\mathcal {C}}(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}$ 满足 $\Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e$ 和 $\Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a$ ，其中常值函数 ${\boldsymbol {1}}$ 满足 ${\boldsymbol {1}}(z)=1$ ， $\operatorname {Id}$ 是恒等映射。

该*-同态 $\Phi _{a}$ 称为正规元 $a$ 的连续函数演算，通常也记作 $f(a):=\Phi _{a}(f)$。

由于*-同态性质，有以下对任意函数 $f,g\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 与标量 $\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$ 有效的计算规则：

$(\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)\qquad$	（线性）
$(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)$	（乘法）
${\overline {f}}(a)=\colon \;(f^{*})(a)=(f(a))^{*}$	（对合）

因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以添加一个单位元，得到一个扩大了的C*-代数 ${\mathcal {A}}_{1}$ 。对于 $a\in {\mathcal {A}}$ 和满足 $f(0)=0$ 的 $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ ，有 $0\in \sigma (a)$ 和 $f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}$ 。

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：

连续函数演算的存在性的证明

设 $C^{*}(a,e)$ 是 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代数， $a$ 在 $C^{*}(a,e)$ 中的谱和在 ${\mathcal {A}}$ 中时是一样的，于是证明了 ${\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)$ 。 实际的构造几乎直接可从盖尔范德表示中得出：只需设 ${\mathcal {A}}$ 是某个紧空间 $X$ 上的连续函数所构成的C*-代数并定义 $\Phi _{a}(f)=f\circ x$ 。

连续函数演算的唯一性的证明

考虑到 $\Phi _{a}({\boldsymbol {1}})$ 和 $\Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})$ 已被固定，由于要求 $\Phi _{a}$ 为*-同态，它对于所有的多项式 ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ 来说已经唯一定义。根据魏尔施特拉斯逼近定理，它们构成了 ${\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 的一个稠密子代数。因此 $\Phi _{a}$ 是唯一的。

在泛函分析中，常对正规算子 $T$ 的连续函数演算感兴趣，即 ${\mathcal {A}}$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的有界算子所构成的C*-代数 ${\mathcal {B}}(H)$ 的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。

性质

到子代数的等距同构

连续函数演算 $\Phi _{a}$ 是到 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代数 $C^{*}(a,e)$ 的等距同构，即：

• $$\forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}.$$于是 $\Phi _{a}$显然是连续的。
• $$\Phi _{a}\left({\mathcal {C}}(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}},$$ 也就是说 $C^{*}(a,e)$ 是连续函数演算的值域。

由于 $a$ 是 ${\mathcal {A}}$ 中的正规元，由 $a$ 和 $e$ 生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地， $f(a)$ 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。

与其他函数演算的关系

全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。因此，连续函数演算在多项式 $p(z,{\overline {z}})$ 上重合于多项式函数演算： $$\forall c_{k,l}\in \mathbb {C} ,\quad \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l},$$ 其中 $p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}$ 。

对于 $\sigma (a)$ 上一致收敛于函数 $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 的函数序列 $f_{n}\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ ， $f_{n}(a)$ 收敛于 $f(a)$ 。对于 $\sigma (a)$ 上绝对且一致地收敛的幂级数 ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ ，就有 ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$ 。

反函数的连续函数演算

若有 $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 和 $g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))$ ，那么它们的函数演算的复合满足 $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ 。

设有两个正规元 $a,b\in {\mathcal {A}}_{N}$ 满足 $f(a)=f(b)$ ，且无论限制在 $\sigma (a)$ 还是 $\sigma (b)$ 上时 $g$ 都是 $f$ 的反函数，那么必然有 $a=b$ ，因为 $a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b$ 。

谱映射定理

谱映射定理 $$\forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \sigma (f(a))=f(\sigma (a))$$ 也成立。

对于 $b\in {\mathcal {A}}$ ，若有 $ab=ba$ ，那么也有 $$\forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad f(a)b=bf(a).$$ 也就是说若 $b$ 与 $a$ 对易，则它也与 $a$ 的在连续函数下的像 $f(a)$ 对易。

与*-同态相容

设 $\Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ 是C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 和 ${\mathcal {B}}$ 间的保单位元的*-同态，那么 $\Psi$ 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说： $$\forall f\in C(\sigma (a)),\quad \Psi (f(a))=f(\Psi (a)).$$ 特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。

函数性质与像的性质间的关系

利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质：

• $f(a)$ 是可逆元当且仅当 $f$ 在 $\sigma (a)$ 上没有零点。于是有 ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$ 。

• $f(a)$ 是自伴元当且仅当 $f$ 是实值函数，也就是$\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$说 $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R}$.
• $f(a)$ 是正元（ $f(a)\geq 0$ ）当且仅当 $f\geq 0$ ，也就是说 $f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )$.
• $f(a)$ 是幺正元，若 $f$ 的值落在复单位圆中。也就是说， $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.$
• $f(a)$ 是一个投影，若 $f$ 仅取值 $0$ 或 $1$ ，也就是说 $f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}$.

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在§ 应用一节中展示。

有界算子代数的谱

在 ${\mathcal {A}}$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的有界算子所构C*-代数 ${\mathcal {B}}(H)$ 的特殊情况下，正规算子 $T\in {\mathcal {B}}(H)$ 的对应特征值 $\lambda \in \sigma (T)$ 的特征向量 $v\in H$ 也将是算子 $f(T)$ 关于特征值 $f(\lambda )\in \sigma (f(T))$ 的特征向量。设 $Tv=\lambda v$ ， 则 $\forall f\in \sigma (T),\quad f(T)v=f(\lambda )v$ 。

应用

下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

谱

设 ${\mathcal {A}}$ 是一个C*-代数而 $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ 为其中一个正规元，则对于谱 $\sigma (a)$ 有以下结论：

• $a$ 是自伴元当且仅当 $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R} .$
• $a$ 是幺正元当且仅当 $\sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.$
• $a$ 是一个投影当且仅当 $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$.

证明

正规元 $a\in {\mathcal {A}}$ 的连续函数演算 $\Phi _{a}$ 是一个保单位元的*-同态，因此若 $\operatorname {Id} \in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 是自伴的/幺正的/投影，则 $a$ 也相应地成为自伴元/幺正元/投影。

1. $\operatorname {Id}$ 自伴的充要条件是 $$\forall z\in \sigma (a),\quad z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}},$$ 即 $\sigma (a)$ 是实的。
2. ${\text{Id}}$ 幺正的充要条件是 $$\forall z\in \sigma (a),\quad 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2},$$ 即 $\sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}$ 。
3. ${\text{Id}}$ 成为投影的充要条件是 $$(\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z),}$$ 即 $$\forall z\in \sigma (a),\quad z^{2}=z={\overline {z}},$$ 或者说 $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$ 。

开方

设 $a$ 是 C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 中的正元，那么对于每一个 $n\in \mathbb {N}$ 存在一个唯一确定的正元 $b\in {\mathcal {A}}_{+}$ 满足 $b^{n}=a$ ，即唯一的 $n$ 次方根。

证明

对于每个 $n\in \mathbb {N}$ ，开方函数 $$f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}\colon x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$$ 是 $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}$ 上的连续函数。若通过连续函数演算来定义 $b\;\colon =f_{n}(a)$ ，那么根据连续函数演算的性质有 $$b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a.$$

根据谱映射定理可知 $$\sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty ),$$ 也就是说 $b$ 是正元。

设有另一正元 $c\in {\mathcal {A}}_{+}$ 满足 $c^{n}=a=b^{n}$ ，则有 $c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b$ ，因为正实数上的开方函数是函数 $z\mapsto z^{n}$ 的反函数。

若 $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ 是自伴元，则至少有：对于每个奇数 $n\in \mathbb {N}$ ，存在唯一确定的自伴元 $b\in {\mathcal {A}}_{sa}$ 满足 $b^{n}=a$ 。

类似地，对于C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 中正元 $a$ 和任意 $\alpha \geq 0$ ， $a^{\alpha }$ 唯一定义了一个 $C^{*}(a)$ 中的正元，并满足 $$\forall \alpha ,\beta \geq 0,\quad a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.$$ 若 $a$ 是可逆元，则还可以推广到取负值的 $\alpha$ 。

绝对值

若 $a\in {\mathcal {A}}$ 且 $a^{*}a$ 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为 $|a|={\sqrt {a^{*}a}}$ ，因为它在正实数上连续。

设 $a$ 是C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 中的自伴元，则存在正元 $a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}$ ，使得 $a=a_{+}-a_{-}$ 和 $a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0$ 成立。 $a_{+}$ 和 $a_{-}$ 也被称为正部和负部。此外还有 $|a|=a_{+}+a_{-}$ 。

证明

函数 $f_{+}(z)=\max(z,0)$ 和 $f_{-}(z)=-\min(z,0)$ 是 $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$ 上的连续函数且满足

• $\operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z),$
• $f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0.$

设 $a_{+}=f_{+}(a),a_{-}=f_{-}(a)$ ，由谱映射定理可知 $a_{+}$ 和 $a_{-}$ 是正元，且有：

• $a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-},$
• $a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}.$

此外， $$f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}},$$ 故 $$a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}.$$

幺正元

若 $a$ 是有单位元 $e$ 的C*-代数 ${\mathcal {A}}$ 中的自伴元，那么 $u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}$ 是幺正元，其中 $\mathrm {i}$ 表示虚数单位。反过来，若 $u\in {\mathcal {A}}_{U}$ 是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即 $\sigma (u)\subsetneq \mathbb {T}$ ），那么存在一个自伴元 $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ 满足 $u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}$ 。

证明

定义函数 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ ，由于 $a$ 的自伴性使得 $\sigma (a)\subset \mathbb {R}$ ，那么 $f$ 在 $a$ 的谱上有定义。取 $u=f(a)$ ，由于 $f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1$ ，根据函数演算性质可知 $uu^{*}=u^{*}u=e$ ，也就是说 $u$ 是幺正元。

对于第二个命题，现在将 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ 限制到区间 $[z_{0},z_{0}+2\pi )$ 上（其中 $z_{0}\in \mathbb {R}$ ），从而可以定义其反函数 $g:\mathbb {T} \to [z_{0},z_{0}+2\pi ):\ g(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})=x$ ，且 $g$ 在谱集 $\sigma (u)$ 上有定义，且是其上的实值连续函数。那么它的连续函数函数演算就会将 $u$ 映为自伴元 $a=g(u)$ 。

谱分解定理

设 ${\mathcal {A}}$ 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元 $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ 。假设谱由 $n$ 个两两不相交的闭子集 $\sigma _{k}\subset \mathbb {C} ,\ (1\leq k\leq n)$ 构成，也就是说 $\sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}$ 。那么就存在投影 $p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}$ ，使得下面的命题对任意 $j\geq 1,k\leq n$ 都成立：

1. 投影的谱满足 $\sigma (p_{k})=\sigma _{k}.$
2. 投影与 $a$ 对易，即 $p_{k}a=ap_{k}.$
3. 投影是正交的，即 $p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}.$
4. 投影之和为单位元，即 $\sum _{k=1}^{n}p_{k}=e.$

特别是，有分解 ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ，其中 $\forall 1\leq k\leq n,\sigma (a_{k})=\sigma _{k}.$

证明

由于 $\sigma _{k}$ 是闭的，故其指示函数 $\chi _{\sigma _{k}}$ 在 $\sigma (a)$ 上连续，可以定义其连续函数演算。

令 $p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)$ 。 由于 $\sigma _{k}$ 两两不交，有

• $\chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}},$
• $\sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}},$

从而由指示函数的连续函数演算所得的 $p_{k}$ 满足性质3、4。

性质2则可由 $$a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)$$ 证明。

参考资料

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外部链接

• Continuous functional calculus - PlanetMath