定理

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定理（英語：Theorem）是經過受邏輯限制的證明為真的陳述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一個定理陳述一個給定類的所有（全稱）元素一種不變的關係，這些元素可以是無窮多，它們在任何時刻都無區別地成立，而沒有一個例外。（例如：某些$a$是$x$，某些$a$是$y$，就不能算是定理）。

猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命題，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。

如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。

各種數學敘述（按重要性來排列）

1. 數學原理
2. 公理（也稱公設）－公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。
3. 定理
4. 命題－通常，命題是一個可以判斷真或假的陳述句，亦有既真又假的命題（悖論）。
5. 推論（也稱系、系理）－一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A，命題A為命題B的推論。
6. 引理（也稱輔助定理，補理）－某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如舒爾引理。
7. 假說－根據已知的科學事實和科學原理，對所研究的自然現象及其規律性提出的推測和說明。

結構

定理一般都有許多條件。然後有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件，則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。

逆定理

若存在某敘述為$A\rightarrow B$，其逆敘述就是$B\rightarrow A$。逆敘述成立的情況是$A\leftrightarrow B$，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是逆定理。

• 若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。
• 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。
• 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。

邏輯中的定理

邏輯語言中的定理表示的是一個公式集合，並且該公式集合中的每一個公式都代表着知識的一個片段，由此我們可以給定理一個更準確的表達（這裡所說的定理指的是在一階邏輯中的定理，通常來說任意一個命題集合往往不一定是定理）。定理在邏輯中的定義︰

一個定理是一個含有由建立於語言集合$L$上的命題（$L$-命題）組成的非空集合。

這個定理（或這個命題集合）我們記作$T$，這些建立於語言集合$L$上的命題必須符合如下屬性：

對所有在$T$中的命題$\varphi$，如果$T\vDash \varphi$，那麼$\varphi \in T$。

比如一個永真命題集合是一個定理，這個永真命題集合被包含在所有建立在語言集合$L$上的定理中。此外，我們說一個定理是另外一個定理$T$的擴展（extension），前提是該定理包含定理$T$。

有一個命題集合$A$，我們將一個包含$A$的集合記作${\mbox{Th}}(A)$，那麽${\mbox{Th}}(A)=\{\ \varphi \ \ |\ \ A\vDash \varphi \ \}$ 。顯而易見$A\vDash {\mbox{Th}}(A)$，所以${\mbox{Th}}(A)$是一個定理。比如我們有一個集合$G$，$G$有三個基於語言$L$上的命題，其中$L=\{e,f\}$，$e$是常數符號，$f$是函數符號。三個命題如下：

$\forall x\forall y\forall zf(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$，

$\forall xf(x,e)=x\land f(e,x)=x$，

$\forall x\exists yf(x,y)=e\land f(y,x)=e$。

那麼如果有${\mbox{Th}}(G)=\{\ \varphi \ \ |\ \ G\vDash \varphi \ \}$，則${\mbox{Th}}(G)$是$G$的定理。當然，如果$A$和$B$是兩個命題集合且滿足$A\subseteq B$，那麼${\mbox{Th}}(A)\subseteq {\mbox{Th}}(B)$。

我們說一個定理$T$是完整的（Complete），當且僅當對於和$T$一樣構建在同樣語言集合上的所有命題$\varphi$，要麼$\varphi \in T$，要麼$\lnot \varphi \in T$。

注意：這個概念不能和定理$T$的完備性（Completude）混淆，完備性是證明在定理$T$中的永真命題是遞推可枚舉的（recursivement enumerable），但是不能說它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如${\mbox{Th}}(\Phi )$一個空集合$\{\Phi \}$的定理是所有真命題集合，但是${\mbox{Th}}(\Phi )$不是完整的。假如有命題$\Psi =\exists x\exists y(x\neq y)$，對於$\Psi$來說，它既不是永真命題，也不是永假命題，它是一個可滿足式的命題，也就是說${\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \Psi$且${\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \lnot \Psi$。因此$\Psi \notin {\mbox{Th}}(\Phi )$，所以我們說${\mbox{Th}}(\Phi )$不是完整的。 一個定理$T$稱作是穩健的（Consistante），當且僅當$\forall \varphi \in T,\ \lnot \varphi \notin T$。我們說對所有的解釋（Interpretation）$I$，${\mbox{Th}}(I)$是一個定理，並且${\mbox{Th}}(I)$既是穩健的又是完整的。

參見

• 數學定理列表