曲线的挠率

本文讨论于三维空间中曲线的挠率，关于挠率的其他用法，参见主条目挠率。

在初等三维曲线的微分几何中，一条曲线的挠率（torsion，或译挠率）度量了其扭曲的程度，即偏离平面曲线的程度。空间曲线的曲率和挠率在一起，与平面曲线的曲率类似。例如，他们都是弗勒内标架的微分方程组中的系数，由弗勒内-塞雷公式给出。

定义

设 C 是一条用弧长参数$s$给出的空间曲线，单位切矢量为${\boldsymbol {t}}$。如果在某一点 C 的曲率$\kappa$不等于 0，那么主法矢量和次法矢量分别是

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {t} '}{\kappa }},\quad \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} .$

其中撇号代表对参数$s$的导数。空间曲线在一点处的切矢量${\boldsymbol {t}}$和主法矢量${\boldsymbol {n}}$所张成的平面就是密切平面，密切平面的法矢量${\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}$是曲线的次法矢量。如果曲线本身位于一个平面内，那么这个平面就是曲线的密切平面，相应的次法矢量就是常矢量。如果曲线不是平面曲线，则${\boldsymbol {b}}$不是常矢量。因为${\boldsymbol {b}}$是单位矢量，所以${\boldsymbol {b}}'$垂直于${\boldsymbol {b}}$。又因为${\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}$，所以${\boldsymbol {b}}'={\boldsymbol {t}}'\times {\boldsymbol {n}}+{\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}'={\boldsymbol {t}}\times {\boldsymbol {n}}'$，故${\boldsymbol {b}}'$也垂直于${\boldsymbol {t}}$。所以${\boldsymbol {b}}'$与${\boldsymbol {n}}$共线。

挠率$\tau$度量了次法矢量在那一点旋转的速度。由方程

$\mathbf {b} '=-\tau \mathbf {n} .$

得出

$\tau =-\mathbf {n} \cdot \mathbf {b} '.$

注：次法矢量的导数垂直于次法矢量和切矢量，从而和主法矢量成比例。式中的负号仅仅是出于习惯，是这个学科历史发展的副产品。

挠率半径，通常记为 σ，定义为：

$\sigma ={\frac {1}{\tau }}\;.$

几何解释：挠率$\tau (s)$度量了次法矢量的方向的改变。挠率越大，次法矢量关于切矢量所在的轴的转动越快。

性质

• 平面曲线的挠率处处为 0；反过来，如果一条正则曲线的挠率处处为 0，那么这条曲线在一个平面上。
• 螺旋线的曲率和挠率都是常数；反之，任何空间曲线如果其曲率和挠率都是非零常数，必然是螺旋线。挠率为正是右手螺旋，为负是左手螺旋。
• 定倾曲线或称一般螺线（即切矢量与一个固定方向交为定角的曲线）的挠率与曲率之比为常数；反之，如果正则曲线的挠率与曲率之比为常数，那么曲线必是定倾曲线。

另一种描述

设 r = r(t) 是空间曲线的参数方程。假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0。精确地说就是，r(t)关于t三次可微，且矢量$\mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)$线性无关。

那么挠率可以由下面的公式表达出来：

$\tau ={{\det \left({r',r'',r'''}\right)} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}={{\left({r'\times r''}\right)\cdot r'''} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}.$

这里撇号表示对 t 求导数，× 号为矢量的叉积。对 r = (x, y, z)，上述公式的分量形式为

$\tau ={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+(x'y''-x''y')^{2}}}\;.$

例子：圆螺旋线${\boldsymbol {r}}(t)=(a\cos {t},a\sin {t},bt)\ (a>0)$的曲率、挠率都是常数，分别为

$\kappa ={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},\quad \tau ={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}$

参考文献

Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag，2001 ISBN 1-85233-152-6