线性代数
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
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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在线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基。
这种正交化方法以约尔根·佩德森·格拉姆和艾哈德·施密特命名,然而比他们更早的拉普拉斯(Laplace)和柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa decomposition)。
在数值计算中,Gram-Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。可以用于矩阵计算。
:维数为n 的内积空间
:
中的元素,可以是向量、函数,等等
:
与
的内积
:
、
……
张成的子空间
:
在
上的投影
图1
在
上投影,构造
上的正交基
Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设
。
是
上的
维子空间,其标准正交基为
,且
不在
上。由投影原理知,
与其在
上的投影
之差

是正交于子空间
的,亦即
正交于
的正交基
。因此只要将
单位化,即

那么
就是
在
上扩展的子空间
的标准正交基。
根据上述分析,对于向量组
张成的空间
(
),只要从其中一个向量(不妨设为
)所张成的一维子空间
开始(注意到
就是
的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到
的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。
首先需要确定已有基底向量的顺序,不妨设为
。Gram-Schmidt正交化的过程如下:
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这样就得到
上的一组正交基
,以及相应的标准正交基
。
- 例
考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合,欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa:

下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量:


下面验证向量
与
的正交性:

将这些向量单位化:


于是
就是
的一组标准正交基底。
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。
例如,在实向量空间上,内积定义为:

在复向量空间上,内积定义为:

函数之间的内积则定义为:

与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。