线性代数
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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在线性代数中,余因子是一种关于方阵之逆及其行列式的建构,余因子矩阵的项是带适当符号的子行列式。
对一个
矩阵
,在
的子行列式(余子式)
定义为删掉
的第 i 横行与第 j 纵列后得到的行列式。令
,称为
在
的余因子(代数余子式)。矩阵
称作
的余因子矩阵(余子矩阵)。余因子矩阵的转置称为伴随矩阵,记为
。
考虑三阶方阵

今将计算余因子
。子行列式
是下述矩阵(在
中去掉第 2 横行与第 3 纵列)之行列式:

根据定义得到



对一
矩阵:

其行列式
可以用余因子表示:

- (对第 j 纵行的余因子分解)

- (对第 i 横列的余因子分解)
“古典伴随矩阵”(classical adjoint matrix) 是余因子矩阵的“转置矩阵”,它与逆矩阵的计算有极大的关系。

将余因子矩阵

转置之后,会得到“古典伴随矩阵”:

克莱姆法则可以用余因子写成下述简炼的形式:

当
时,
的逆矩阵由下式给出:

此即线性方程组理论中的克莱姆法则。
- Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8