線性代數
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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在線性代數中,么正矩陣(又譯作酉矩陣,英語:unitary matrix)指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣,數學描述如下:
- (數學定義)
,
- (推論)
。
其中 U* 是 U 的共軛轉置,In 是 n×n 單位矩陣。
么正矩陣是正交矩陣(元素均為實數)在複數的推廣。
以下是一個酉矩陣的例子:
。
驗證如下:


從定義可知,么正矩陣滿足以下性質:
。
由此可見,么正矩陣與其共軛轉置 U* 矩陣乘法可交換,是正規矩陣。
么正矩陣亦必定可逆,且逆矩陣等於其共軛轉置:
。
么正矩陣 U 的所有特徵值 λn ,都是絕對值等於 1 的複數:
。
因此,么正矩陣 U 行列式的絕對值也是 1:
。
么正矩陣 U 不會改變兩個複向量 x 和 y 的點積:
。
更一般地說,所有希爾伯特內積也不會改變:
。
若 U 及 V 都是么正矩陣,則 UV 也是么正矩陣:
。
若 U 為 n×n 矩陣,則下列條件等價:
- U 是么正矩陣
- U*是么正矩陣
- U 的列向量是在 Cn 上的一組標準正交基
- U 的行向量是在 Cn 上的一組標準正交基
給定任意的 n ,所有 n 階么正矩陣的集合 G 與矩陣乘法「⋅」,都能構成一個群 (G, ⋅ )。
么正對角化(又譯作酉對角化,英語:unitary diagonalisation),指把一個矩陣 A 對角化成以下形式:
,
其中 U 是么正矩陣,D 是對角矩陣。
根據譜定理,一個矩陣 A 可么正對角化,若且唯若 A 是正規矩陣,即它與其共軛轉置 A* 矩陣乘法可交換(A*A = AA*)。
由於么正矩陣本身也是一個正規矩陣,因此么正矩陣 U 也可么正對角化:
,
其中 V 是么正矩陣,Σ 是對角矩陣。