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鄰域

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在平面上集合是點的鄰域,如果圍繞小圓盤包含在中。
矩形不是它的任何一角的鄰域。

集合論中,鄰域(英語:Neighbourhood)指以點為中心的任何開區間,記作:

拓撲學和相關的數學領域中,鄰域是拓撲空間中的基本概念。直覺上說,一個點的鄰域是包含這個點的集合,並且該性質是外延的:你可以稍微「抖動」一下這個點而不離開這個集合。

定義

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集合論中,有以下幾種鄰域:

鄰域:
去心鄰域:
左鄰域:
右鄰域:

拓撲學中,拓撲空間,稱的鄰域,當且僅當以下條件之一成立:

  • 存在開集,使得
  • 。(的內部)
開鄰域,閉鄰域
是開集,則稱為的開鄰域;若是閉集,則稱為的閉鄰域。
鄰域系統
,則所有鄰域的集合,稱為(或)的鄰域系

注意:某些作者要求鄰域是開集,所以在閱讀文獻時注意約定是很重要的。

如果的子集,的鄰域是集合,它包含了包含的開集。可得出集合的鄰域,當且僅當它是在中的所有點的鄰域。

鄰域的度量空間定義

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平面上的集合的均勻鄰域

度量空間中,集合是點的鄰域,如果存在以為中心和半徑為開球

它被包含在中。

均勻鄰域

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叫做集合的均勻鄰域(uniform neighborhood),如果存在正數使得對於的所有元素

被包含在中。

對於集合-鄰域中與的距離小於的所有點的集合(或等價的說是以中一個點為中心半徑為的所有開球的併集)。

可直接得出-鄰域是均勻鄰域,並且一個集合是均勻鄰域當且僅當它包含對某個值的-鄰域。
參見一致空間

非均勻鄰域的例子

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給定實數帶有平常的歐幾里得度量和如下定義的子集

自然數集合的鄰域,但它不是這個集合的均勻鄰域,因為並不是一個固定值。

去心鄰域

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的去心鄰域(英語:deleted neighborhoodpunctured neighborhood)是點 的鄰域中減去 後得到的差集。例如,區間 實數軸上的鄰域,因此集合 的一個去心鄰域。需注意的是,給定點的去心鄰域實際上不是該點的鄰域。在討論函數極限時,會用到去心鄰域的概念。

基於鄰域的拓撲

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上述定義適用於開集的概念早已定義的情況。有另一種方式來定義拓撲,也就是先定義鄰域系統,再定義開集:若集中每個點皆有一個鄰域被包含於集中,則為開集。

上的鄰域系統是濾子(在集合上)到每個中的的指派,使得

  1. 是每個中的的元素,
  2. 每個中的包含某個中的使得對於每個中的有着中。

可以證明這兩個定義是兼容的,就是說從使用開集定義的鄰域系統獲得的拓撲就是最初的拓撲,反之從鄰域系統出發亦然。

引用

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  • Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256. 
  • Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263. 
  • Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948. 

參見

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