在平面上集合
是點
的鄰域,如果圍繞
小圓盤包含在
中。
矩形不是它的任何一角的鄰域。
在集合論中,鄰域(英語:Neighbourhood)指以點
為中心的任何開區間,記作:
。
在拓撲學和相關的數學領域中,鄰域是拓撲空間中的基本概念。直覺上說,一個點的鄰域是包含這個點的集合,並且該性質是外延的:你可以稍微「抖動」一下這個點而不離開這個集合。
在集合論中,有以下幾種鄰域:
鄰域:
- 去心鄰域:

- 左鄰域:

- 右鄰域:

在拓撲學中,拓撲空間
,
,
,稱
是
的鄰域,當且僅當以下條件之一成立:
- 存在開集
,使得
。
。(
是
的內部)
- 開鄰域,閉鄰域
- 若
是開集,則
稱為
的開鄰域;若
是閉集,則
稱為
的閉鄰域。
- 鄰域系統
- 設
,則
所有鄰域的集合
,稱為
(或
)的鄰域系。
注意:某些作者要求鄰域是開集,所以在閱讀文獻時注意約定是很重要的。
如果
是
的子集,
的鄰域是集合
,它包含了包含
的開集
。可得出集合
是
的鄰域,當且僅當它是在
中的所有點的鄰域。
平面上的集合
和
的均勻鄰域
。
在度量空間
中,集合
是點
的鄰域,如果存在以
為中心和半徑為
的開球,

它被包含在
中。
叫做集合
的均勻鄰域(uniform neighborhood),如果存在正數
使得對於
的所有元素
,

被包含在
中。
對於
集合
的
-鄰域
是
中與
的距離小於
的所有點的集合(或等價的說
是以
中一個點為中心半徑為
的所有開球的併集)。
可直接得出
-鄰域是均勻鄰域,並且一個集合是均勻鄰域當且僅當它包含對某個
值的
-鄰域。
參見一致空間。
給定實數集
帶有平常的歐幾里得度量和如下定義的子集
,
則
是自然數集合
的鄰域,但它不是這個集合的均勻鄰域,因為
並不是一個固定值。
點
的去心鄰域(英語:deleted neighborhood 或 punctured neighborhood)是點
的鄰域中減去
後得到的差集。例如,區間
是
在實數軸上的鄰域,因此集合
是
的一個去心鄰域。需注意的是,給定點的去心鄰域實際上不是該點的鄰域。在討論函數極限時,會用到去心鄰域的概念。
上述定義適用於開集的概念早已定義的情況。有另一種方式來定義拓撲,也就是先定義鄰域系統,再定義開集:若集中每個點皆有一個鄰域被包含於集中,則為開集。
在
上的鄰域系統是濾子
(在集合
上)到每個
中的
的指派,使得
- 點
是每個
中的
的元素,
- 每個
中的
包含某個
中的
使得對於每個
中的
有着
在
中。
可以證明這兩個定義是兼容的,就是說從使用開集定義的鄰域系統獲得的拓撲就是最初的拓撲,反之從鄰域系統出發亦然。
- Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.
- Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.
- Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.