乌雷松引理

在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述

乌雷松引理说明，$X$ 是一个正规拓扑空间，当且仅当只要 $A$ 和 $B$ 是 $X$ 的不交闭子集，就存在一个从 $X$ 到单位区间 $[0,1]$ 的连续函数：

$f:X\to [0,1]$，

使得对于所有 $a\in A$，都有 $f(a)=0$，而对于所有 $b\in B$，都有 $f(b)=1$。

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数。

注意 $A$ 和 $B$ 以外的元素 $x\notin A\cup B$ 并不需要使得 $f(x)\neq 0$ 或 $f(x)\neq 1$。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如“吉洪诺夫性质”和“完全豪斯多夫空间”的表述。例如，这个引理的一个推论是：正规的T₁空间是吉洪诺夫空间。

证明

乌雷松的洋葱函数。

对于每一个二进分数 $r\in (0,1)$，我们构造 $X$ 的一个开子集 $U(r)$，使得：

1. $A\subseteq U(r)$，且对于所有的 $r$，$U(r)\cap B=\varnothing$；
2. 对于 $r<s$，$U(r)$ 的闭包位于 $U(s)$ 内。

有了这些集合以后，我们便定义 $f(x)=\inf _{x\in U(r)}r$ 对于所有 $x\in X$。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明 $f$ 是连续的，且具有性质 $f(A)\subseteq \{0\}$ 和 $f(B)\subseteq \{1\}$。

为了构造集合 $U(r)$，我们还需要做更多事情：我们构造集合 $U(r)$ 和 $V(r)$，使得：

• 对于所有的 $r$，都有 $A\subseteq U(r)$ 且 $B\subseteq V(r)$；
• 对于所有的 $r$，$U(r)$ 和 $V(r)$ 都是开集和不交的；
• 对于 $r<s$，$V(s)$ 包含在 $U(r)$ 的补集之内，而 $V(r)$ 的补集包含在 $U(s)$ 之内。

由于 $V(r)$ 的补集是闭集，且含有 $U(r)$，因此从最后一个条件可以推出上面的条件 (2)。

我们使用数学归纳法。由于 $X$ 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集 $U(1/2)$ 和 $V(1/2)$，分别含有 $A$ 和 $B$。现在假设 $n\geq 1$，且集合 $U(a/2^{n})$ 和 $V(a/2^{n})$ 对于 $a=1,\ldots ,2^{n}-1$ 已经构造了。由于 $X$ 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集，分别含有 $V(a/2^{n})$ 的补集和 $U((a+1)/2^{n})$ 的补集。称这两个开集为 $U((2a+1)/2^{n+1})$ 和 $V((2a+1)/2^{n+1})$，并验证以上的三个条件成立。

参考文献

• proof of Urysohn's lemma. PlanetMath.