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加法單位元

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數學裏,一個具有加法運算集合中的加法單位元,是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。

基本例子

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如:

5 + 0 = 5 = 0 + 5。
  • 自然數和其所有的父集(整數有理數實數複數)內,其加法單位元皆為0。所以對於任何一個

形式定義

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是一個在加法運算下封閉的集合的加法單位元即為任一個能使所有在內的元素有下列公式的元素

更多例子

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  • 在一個裏,加法單位元即是這個群的單位元,通常標記做0,並且是唯一的(見下面證明)。
  • 一個或一個也會是一個在加法運算下的,因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同,若環(或體)有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話,這個環則會是當然的(見下面證明)。
  • 在一個於群上的矩陣所組成的群裏,其加法單位元標記為0,且會是個其元素都是在內的單位元0的矩陣。例如,在一個於整數上的2階方陣裏,其加法單位元為
.

證明

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加法單位元在一個群裏是唯一的

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是一個,且設0和0'是在內的兩個加法單位元,則對於所有在內的而言,

由上可得

(0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可證明 0 = 0'。

加法和乘法單位元在一個非平凡環裏是不同的

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是一個,且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等,即0=1。設為於內的任一元素,則

其表示必須是平凡的,亦即。再依照換質位法,即可得出若不是平凡的,則0不會等於1的結論。

另見

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外部連結

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參考文獻

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  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.