加法單位元
外觀

在數學裏,一個具有加法運算的集合中的加法單位元,是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。
基本例子
[編輯]如:
- 5 + 0 = 5 = 0 + 5。
- 。
形式定義
[編輯]令是一個在加法運算下封閉的集合。的加法單位元即為任一個能使所有在內的元素有下列公式的元素:
- 。
更多例子
[編輯]- 一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群,因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同,若環(或體)有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話,這個環則會是當然的(見下面證明)。
- .
證明
[編輯]加法單位元在一個群裏是唯一的
[編輯]令是一個群,且設0和0'是在內的兩個加法單位元,則對於所有在內的而言,
- 且。
由上可得
- (0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)
故可證明 0 = 0'。
加法和乘法單位元在一個非平凡環裏是不同的
[編輯]令是一個環,且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等,即0=1。設為於內的任一元素,則
其表示必須是平凡的,亦即。再依照換質位法,即可得出若不是平凡的,則0不會等於1的結論。
另見
[編輯]外部連結
[編輯]- 加法單位元在一個環裏的唯一性 at PlanetMath.
- Margherita Barile. 加法單位元. MathWorld.
參考文獻
[編輯]- David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.