加法單位元

在數學裏，一個具有加法運算的集合中的加法單位元，是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。

基本例子

• 初等數學中所熟悉的加法單位元為0。

如：

5 + 0 = 5 = 0 + 5。

• 在自然數$\mathbb {N}$和其所有的父集(整數$\mathbb {Z}$、有理數$\mathbb {Q}$、實數$\mathbb {R}$、複數$\mathbb {C}$)內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數$n$，

$n+0=n=0+n$。

形式定義

令$N$是一個在加法運算下封閉的集合。$N$的加法單位元即為任一個能使所有在$N$內的元素$n$有下列公式的元素$e$：

$e+n=n=n+e$。

更多例子

• 在一個群裏，加法單位元即是這個群的單位元，通常標記做0，並且是唯一的(見下面證明)。

• 一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群，因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同，若環（或體）有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話，這個環則會是當然的(見下面證明)。

• 在一個於群$G$上的$m$乘$n$階矩陣所組成的群$M_{m\times n}(G)$裏，其加法單位元標記為0，且會是個其元素都是在$G$內的單位元0的$m$乘$n$矩陣。例如，在一個於整數上的2階方陣$M_{2}(\mathbb {Z} )$裏，其加法單位元為

$0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$.

證明

加法單位元在一個群裏是唯一的

令$(G,+)$是一個群，且設0和0'是在$G$內的兩個加法單位元，則對於所有在$G$內的$g$而言，

$0+g=g=g+0$ 且$0'+g=g=g+0'$。

由上可得

(0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可證明 0 = 0'。

加法和乘法單位元在一個非平凡環裏是不同的

令$R$是一個環，且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等，即0=1。設$r$為於$R$內的任一元素，則

$r=r\times 1=r\times 0=0$

其表示$R$必須是平凡的，亦即$R=\{0\}$。再依照換質位法，即可得出若$R$不是平凡的，則0不會等於1的結論。

另見

• 加法反元素
• 單位元
• 乘法單位元

外部連結

• 加法單位元在一個環裏的唯一性 at PlanetMath.
• Margherita Barile. 加法單位元. MathWorld. 

參考文獻

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.