0

	元
	李冶《测圆海镜》第十四问用以上符号代表：。

0
	数表 — 整数 << 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> << 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 >> << 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 >> << 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 >> << −∞ .... −0 0 .... ∞ >> << -i 0 i 2i 3i >>
命名
小写	〇
大写	零
序数词	第零;
识别
种类	整数
性质
素因数分解	不在可约数分解的整数的范围内; （任意素数皆为其素因数）
约数	任意整数皆为其约数
绝对值	0
相反数	0或−0
表示方式
值	0
花码	〇
算筹
罗马数字	罗马数字一般不使用零
高棉数字	០
摩尔斯电码	-----
二进制	0(2)
八进制	0(8)
十二进制	0(12)
十六进制	0(16)
语言
阿拉伯文、中库尔德语、波斯语、信德语、印度斯坦语（英语：Urdu numerals）	٠
印度数字	०
英语	zero, "oh" (/oʊ/), nought, naught, nil
高棉语	០
泰文	๐
孟加拉语（英语：Bengali numerals）	০
	查; 论; 编;

0（零／〇）是代表“空量”（无）的一个数。0是-1与1之间的整数，属于偶数，其既不是正数也不是负数。

0是大多数记数系统的位值记号，同样作为占位符数字使用。这种用法起源于印度数学，中世纪时经伊斯兰数学家传播到欧洲，并由斐波那契推广。玛雅人也独立使用了相关概念。

在数论中，0不属于自然数；但在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数结构中都有着单位元这个很重要的性质。

历史

关于“0”的概念在其它地区很早就有。巴比伦人、古埃及人、玛雅人分别独立发明了“0”^[1]。公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。玛雅文明最早发明特别字体的“0”。玛雅数字中，“0”以贝壳模样的象形符号代表。古埃及早在公元前2千年就有人在记账时用特别符号来表示“0”，但该符号并未加入到古埃及数字中。

现在使用的“0”的发明则始于印度。公元前2000年，印度最古老的文献《吠陀》已有特别“0”概念的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。0这个字体的数字是在5世纪由古印度人发明。他们最早用黑点“.”表示零，后来逐渐变成了“0”。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家婆罗摩笈多说明了0加0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在訪問现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字了。

10世纪波斯数学家伊本·拉班《印度算术原理》第一部分叙述用印度数字0到9为基础的十进位制四则运算和开平方、开立方的土盘程序。

这套记数法后来又传入西欧地区。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，当时西方认为所有数都是可数，而0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立^[2]（如除以0），甚至认为是魔鬼数字，而被禁用^[3]；直至约公元15、16世纪，0才逐渐给西方人所认同，使西方数学有快速发展。^[4]

中国古代的筹算数码中没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示为“〦〧　〨 ”。前4世纪，中国数学家已经了解负数和零的概念^[5]。1世纪的《九章算术》说：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”（这段话的大意是“方程相消：遇到同符号系数应相减其数值，遇到异符号系数应相加其数值，正系数遇到没有未知项应取负，负系数遇到没有未知项应取正。”）以上文字里的“无入”通常被数学历史家^[谁？]认为是零的概念^{[来源请求]}。当时并没有使用符号来表示零。

690年时，武则天颁布了则天文字，其中一个字就是“〇”，当时的意义同“星”，代表圆形的星球^[6]^[7]。瞿昙悉达于718年将印度数字“0”引入中国，以此来代替算筹^[8]^[9]。宋代蔡沈《律率新书》中用方格表示空缺。金朝《大明历》中有“四百〇三”，“三百〇九”等数字^[10]。1247年，秦九韶在其著作数书九章中使用符号“〇”来表示“0”的概念。^[11]1248年，李冶《测圆海镜》中也使用了“〇”。

汉字“零”起初并不具有数字“0”的意思。“零”起初表示“零碎”的意思，比如“零头”等。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着数字的引进。“105”读作“一百零五”，“零”字与“0”对应，“零”于是具有了“0”的含义。^[12]^[13]

数学性质

0是否属于自然数仍有争议，数论领域认为0不属于自然数，集合论和计算机科学领域认为0属于自然数。
国际标准ISO 31-11:1992（英语：ISO_31-11）中，从集合论角度规定：符号 $\mathbb {N}$ 所表示的自然数包括正整数和0。中国国家标准GB 3102-11:93参照国际标准作出同样规定。

平方数，为0的平方。
立方数，为0的立方。
第1个普洛尼克数，为0与1的乘积。下一个为2。
第0个佩尔数。下一个为1。
第0个斐波那契数。前一个、下一个与下两个皆是1、前两个是-1。
0是个高斯整数。
0可被2整除，所以0是偶数。
分数中的分母不可以是0。
0非正非负，0的相反数和绝对值是其本身。
0乘以任何实数都等于0（0×10=0），任何实数加上0等于其本身（1+0=1）。
0没有倒数和负倒数，任何数（包括0）除以0皆无意义。
0不能做对数的底。
0的正数次方等于0，0的负数次方是无意义。
0的0次方目前是未定式，部分领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为1。也有人主张定义为1。^[14]^[15]
0阶乘（记作0!）定义为1。
0 为任何非零整数之倍数。
0作为序数一般仅出现于计算机领域。
0是斐波那契数列中，仅有的3个平方数之一（另外两个是1与144）。^[16]
0是唯一一个使得没有复数w满足e^w = z的复数z。

0的约数和倍数

当 $a\times b=c$ （ $a\,\!$ 、 $b\,\!$ 、 $c\,\!$ 为整数）时，定义 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 为 $c\,\!$ 的约数， $c\,\!$ 为 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 的倍数。

\because a\times 0=0

（

a\,\!

为任何实数）

\therefore a

为0的约数，0为

a\,\!

的倍数，也就是说，任何整数都是0的约数。

另外，因为0不能作为任何数的因数，所以0没有倍数。

人类文化

在计算机科学中，0经常用于表示布尔值假（F）。
在数位电路中，不使用精确的电压值来代表信号的值，只使用“0”和“1”两个值。“0”表示低于预先规定的阈值电压，被称为低电平或者逻辑0。与之对应，“1”表示高于预先规定的阈值电压，被称为高电平或者逻辑1。注意负逻辑时的规定相反，高电平为逻辑0。
在电话网络中，国家代码（国家或地区号）开始为00（两个0），其下的地方区号（郡或市等地区代码）开始为0（一个0）。
数字0的使用使数学快速发展。
0号线

参考来源

文献

柯利弗德·皮寇弗; 陈以礼（翻译）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [数学之书]. 时报文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （中文（繁体））.

引用

^ 柯利弗德 2013，第45页
^ Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141 [2015-01-14]. ISBN 9781441183910. （原始内容存档于2015-02-19）.
^ Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6 [2015-01-14]. ISBN 9780738711485. （原始内容存档于2015-02-19）.
^ J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor数学史档案. [2015-01-14]. （原始内容存档于2015-02-05）.
^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ 《新唐书·后妃传上·则天武皇后传》：“载初中，又享万象神宫，以太穆、文德二皇后配皇地祇，引周忠孝太后从配。作……、〇、……，十又二文。”按《说文解字》：“曐，万物之精。上为列星。从晶，生声。一曰象形，从〇。”
^ 小写〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的编码是U+3007，勿与圈号（CIRCLE）混淆。
^ Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科学出版社, 1964
^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 东京: 东洋书店, 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ 郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010
^ Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.
^ 零说文解字原文 - 说文解字 - 词典网. [2022-05-30]. （原始内容存档于2018-11-03）.
^ 零在康熙字典中的解释 - 康熙字典 - 词典网. [2022-05-30].
^ 存档副本 (PDF). [2011-12-09]. （原始内容存档 (PDF)于2017-03-25）.
^ sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09]. （原始内容存档于2010-12-02）.
^ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始内容存档于2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

参见

外部链接

倪梁康：〈零与形而上学〉（页面存档备份，存于互联网档案馆）（2009）

[1] 柯利弗德 2013，第45页

[2] Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141 [2015-01-14]. ISBN 9781441183910. （原始内容存档于2015-02-19）.

[3] Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6 [2015-01-14]. ISBN 9780738711485. （原始内容存档于2015-02-19）.

[4] J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor数学史档案. [2015-01-14]. （原始内容存档于2015-02-05）.

[5] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[6] 《新唐书·后妃传上·则天武皇后传》：“载初中，又享万象神宫，以太穆、文德二皇后配皇地祇，引周忠孝太后从配。作……、〇、……，十又二文。”按《说文解字》：“曐，万物之精。上为列星。从晶，生声。一曰象形，从〇。”

[7] 小写〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的编码是U+3007，勿与圈号（CIRCLE）混淆。

[8] Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科学出版社, 1964

[9] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 东京: 东洋书店, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[10] 郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010

[11] Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.

[说文解字-12] 零说文解字原文 - 说文解字 - 词典网. [2022-05-30]. （原始内容存档于2018-11-03）.

[13] 零在康熙字典中的解释 - 康熙字典 - 词典网. [2022-05-30].

[14] 存档副本 (PDF). [2011-12-09]. （原始内容存档 (PDF)于2017-03-25）.

[15] sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09]. （原始内容存档于2010-12-02）.

[16] JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始内容存档于2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

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李冶《测圆海镜》第十四问用以上符号代表： $-480-x$ 。