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加法单位元

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数学里,一个具有加法运算集合中的加法单位元,是指不论它加上任何一个在此集合内的元素x都会等于x的元素。

基本例子

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如:

5 + 0 = 5 = 0 + 5。
  • 自然数和其所有的父集(整数有理数实数复数)内,其加法单位元皆为0。所以对于任何一个

形式定义

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是一个在加法运算下封闭的集合的加法单位元即为任一个能使所有在内的元素有下列公式的元素

更多例子

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  • 在一个里,加法单位元即是这个群的单位元,通常标记做0,并且是唯一的(见下面证明)。
  • 一个或一个也会是一个在加法运算下的,因此它们也会有一个唯一的加法单位元0。它被定义必须和乘法单位元1不同,若环(或体)有两个以上的元素时。如果加法单位元和乘法单位元是同一个的话,这个环则会是当然的(见下面证明)。
  • 在一个于群上的矩阵所组成的群里,其加法单位元标记为0,且会是个其元素都是在内的单位元0的矩阵。例如,在一个于整数上的2阶方阵里,其加法单位元为
.

证明

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加法单位元在一个群里是唯一的

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是一个,且设0和0'是在内的两个加法单位元,则对于所有在内的而言,

由上可得

(0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可证明 0 = 0'。

加法和乘法单位元在一个非平凡环里是不同的

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是一个,且假设加法单位元0和乘法单位元1会相等,即0=1。设为于内的任一元素,则

其表示必须是平凡的,亦即。再依照换质位法,即可得出若不是平凡的,则0不会等于1的结论。

另见

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外部链接

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参考文献

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  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.