電阻

電導率
電導率
常見符號	G
國際單位	西門子 (S)
基本單位	kg−1⋅m−2⋅s3⋅A2
單位因次
從其他物理量的推衍
因次

電阻
電阻
常見符號	R
國際單位	歐姆 (Ω)
基本單位	kg⋅m2⋅s−3⋅A−2
單位因次
因次

在電磁學裡，電阻（英語：resistance）是一個物體對於電流通過的阻礙能力，以方程式定義為：

$R\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {V}{I}}$ ；

其中， $R$ 為電阻， $V$ 為物體兩端的電壓， $I$ 為通過物體的電流。

假設一個物體具有均勻截面面積，則其電阻與電阻率、長度成正比，與截面面積成反比。

在國際單位制中，電阻的單位為歐姆（Ω，Ohm）。電阻的倒數為電導，單位為西門子（S）。

假設溫度不變，則很多種物質會遵守歐姆定律，即這些物質所組成的物體，其電阻為常數，不跟電流或電壓有關，一般稱這些物質為「歐姆物質」；不遵守歐姆定律的物質為「非歐姆物質」。

在電路符號中，常以前綴R表示恆定電阻的電阻值，例如R1、R02、R100等。

導體與電阻器

一個6.5 MΩ的電阻器，其外表色碼標識出它的電阻值。電阻表可以用來驗證它的電阻值。

像電線一類的物體，具有低電阻，可以很有效率地傳輸電流，這類物體稱為「導體」。通常導體是由像銅、金和銀一類具有優等導電性質的金屬製造，或者次等導電性質的鋁。電阻器是具有特定電阻的電路元件。製備電阻器所使用的原料有很多種；應該使用哪種原料，要視指定的電阻、能量耗散、準確度和成本等因素而定。

直流電

在物理學裏，對於物質的微觀層次電性質研究，會使用到的歐姆定律，以向量方程式表達為

\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}

；

其中， $\mathbf {E}$ 是電場， $\rho$ 是電阻率， $\mathbf {J}$ 是電流密度。

在導體內任意兩點g、h，定義電壓為將單位電荷從點g移動到點h，電場力所需做的機械功^[1]：

V_{gh}{\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} q}}=\int _{g}^{h}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }=\rho \int _{g}^{h}{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }

；

其中， $V_{gh}$ 是電壓， $w$ 是機械功， $q$ 是電荷量， $\mathrm {d} \mathbf {l}$ 是微小線元素。

假設，沿著積分路徑，電流密度 $\mathbf {J} =J{\hat {\mathbf {l} }}$ 為均勻電流密度，並且平行於微小線元素：

\mathrm {d} \mathbf {l} =\mathrm {d} l{\hat {\mathbf {l} }}

；

其中， ${\hat {\mathbf {l} }}$ 是積分路徑的單位向量。

那麼，可以得到電壓：

V_{gh}=J\rho l

；

其中， $l$ 是積分路徑的徑長。

假設導體具有均勻的電阻率，則通過導體的電流密度也是均勻的：

J=I/a

；

其中， $a$ 是導體的截面面積。

電壓 $V_{gh}$ 簡寫為 $V$ 。電壓與電流成正比：

V=V_{gh}=I\rho l/a

。

總結，電阻與電阻率的關係為

R=\rho l/a

。

假設 $J>0$ ，則 $V>0$ ；將單位電荷從點g移動到點h，電場力需要作的機械功 $w>0$ 。所以，點g的電勢比點h的電勢高，從點g到點h的電勢差為 $-V$ 。從點g到點h，電壓降是 $V$ ；從點h到點g，電壓升是 $V$ 。

交流電

假設電線傳導的電流是高頻率交流電，則由於趨膚效應，電線的有效截面面積會減小。假設平行排列幾條電線在一起，則由於鄰近效應，每一條電線的有效電阻會大於單獨電線的電阻。對於普通家用交流電，由於頻率很低，這些效應非常微小，可以忽略這些效應。

測量電阻

電阻計是測量電阻的儀器。由於探針電阻和接觸電阻會造成電壓降，簡單電阻器不能準確地測量低電阻。高準確度測量工作必須使用四端點測量技術（four-terminal measurement technology）。

能帶理論概述

根據量子力學，束縛於原子內部的電子，其能量不能假定為任意數值，而只能占有某些固定能級，在這些能級之間的數值不可能是電子的能量。這些能級可以分為兩組，一組稱為導帶，另一組稱價帶。導帶的能級通常比較高一些。處於導帶的電子可以自由地移動於物體內部。

在絕緣體和半導體中，原子之間會相互影響，使得導帶和價帶之間出現能隙，電子無法處於能隙。為了要產生電流，必須給予電子相當大的能量，協助電子從價帶，跳過能隙，進入導帶。因此，即使對這些物質施加很大的電壓，產生的電流仍舊很小。

電阻種類

碳膜電阻
金屬氧化膜電阻
精密電阻
繞線電阻
水泥電阻
固定瓷管電阻
低感瓷管電阻
鋁殼精密電阻
光敏電阻：收到光線改變就會跟著改變電阻值的電阻
熱敏電阻
壓敏電阻

各種不同材料的電阻

金屬

金屬是一群原子以晶格結構形成的晶體，每個原子都擁有一層（或多層）由電子組成的外殼。處於外殼的電子能脫離原子核的吸引力而到處流動，形成一片電子海，使得金屬能夠導電。當施加電勢差（即電壓）於金屬兩端時，因為感受到電場的影響，這些自由電子會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞，其動能會遭受損失，以熱能的形式將能量釋放，所以，電子的平均移動速度是漂移速度，其方向與電場方向相反。由於漂移運動，會產生電流。在現實中，物質的原子排列不可能為完全規則，因此電子在流動途中會被不按規則排列的原子散射，這是電阻的來源。

給予一個具有完美晶格的金屬晶體，移動於這晶體的電子，其運動等價於移動於自由空間、具有有效質量的電子的運動。所以，假設熱運動足夠微小，週期性結構沒有偏差，則這晶體的電阻等於零。但是，真實晶體並不完美，時常會出現晶體缺陷，有些晶格點的原子可能不存在，可能會被雜質侵佔。這樣，晶格的週期性會被擾動，因而電子會被散射。另外，假設溫度大於絕對零度，則處於晶格點的原子會發生熱震動，因而出現熱震動的粒子——聲子——移動於晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會與電子發生碰撞，這過程稱為晶格散射（lattice scattering）。主要由於上述兩種散射，自由電子的流動會被阻礙，晶體因此具有有限電阻^[2]。

半導體和絕緣體

對於金屬，費米能級的位置在導帶區域內，因此金屬內部會出現自由的傳導電子。可是，對於半導體，費米能級的位置在能隙區域內。

本徵半導體是未被摻雜的半導體，其費米能級大約為導帶最低值與價帶最高值的平均值。當溫度為絕對零度時，本徵半導體內部沒有自由的傳導電子，電阻為無窮大。當溫度開始上升，高於絕對零度時，有些電子可能會獲得能量而進入傳導帶中；假設施加外電場，則這些電子在獲得外電場的能量後，會移動於金屬內部，因而形成電流。

雜質半導體是經過摻雜的半導體。靠著捐贈電子給導帶，或價帶接受空穴，外質半導體內部的雜質原子能夠增加電荷載子的密度，從而減低電阻。高度滲雜的半導體的導電性質類似金屬。在非常高溫度狀況，熱生成電荷載子的貢獻會超過雜質原子的貢獻；隨著溫度的增加，電阻會呈指數遞減。

離子液體／電解質

在電解質中，電流是由帶電的離子的流動產生，因此液體的電阻很受鹽的濃度所影響。譬如蒸餾水是絕緣體，但鹽水就是很好的導電體。

在生物體內的細胞膜，離子鹽負責電流的傳送。細胞膜中的小孔道，稱為離子通道，會選擇什麼離子可以通過。這直接決定了細胞膜的電阻。

非歐姆元件

有些電路元件不遵守歐姆定律，它們的電壓與電流之間的關係（I-V線）乃非線性關係。PN接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示，隨著二極體兩端電壓的遞增，電流並沒有線性遞增。給定外電壓，可以用I-V線來估計電流，而不能用歐姆定律來計算電流，因為電阻會因為電壓的不同而改變。具有這種特性的電阻或元件稱為「非線性電阻」或「非歐姆元件」。

非歐姆元件的常見實例包括二極體、氣體放電燈（螢光燈）、壓敏電阻等。

對於這類元件在特定電壓電流下的電阻量，使用V-I線的斜率（或是I-V曲線斜率的倒數） ${\mathfrak {r}}$ ，稱為小信號電阻（small-signal resistance）、增量電阻（incremental resistance）或動態電阻（dynamic resistance），定義為

{\mathfrak {r}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} I}}

，

此動態的電阻量適用於計算非歐姆元件，動態電阻的單位一樣也是歐姆^[3]。

溫度對電阻的影響

溫度對不同物質的電阻會有不同的影響。

導電體

假設溫度接近室溫，則典型金屬的電阻 $R$ 通常與溫度 $T$ 成正比^[5]：

R=R_{*}[\alpha (T-T_{*})+1]

；

其中， $R_{*}$ 是典型金屬在參考溫度為 $T_{*}$ 時的參考電阻， $\alpha$ 是電阻溫度係數。

$\alpha$ 是電阻變化百分比每單位溫度。每一種物質都有其特定的 $\alpha$ 。實際而言，上述關係式只是近似，真實的物理是非線性的；換句話說， $\alpha$ 本身會隨著溫度的改變而變化。因此，通常會在 $\alpha$ 字尾添加測量時的溫度。例如， $\alpha _{15}$ 是在溫度為15 °C時測量的電阻溫度係數；使用 $\alpha _{15}$ 為電阻溫度係數，則參考溫度 $T_{*}$ 為15 °C，參考電阻為金屬在參考溫度為15 °C時的參考電阻，而且上述關係式只適用於計算溫度在15 °C附近的電阻 $R$ ^[6]。

稍加排列，這方程式又可表示為

\alpha ={\frac {R-R_{*}}{R_{*}(T-T_{*})}}

。

取 $R-R_{*}\to 0$ 的極限，則可得到微分方程式^[4]

\alpha ={\frac {1}{R_{*}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} T}}\right)_{*}

。

所以，在溫度為 $T_{*}$ 時，物質的電阻溫度係數是，其電阻對溫度的曲線在溫度為 $T_{*}$ 時的斜率，除以溫度為 $T_{*}$ 時的電阻。

於1860年代，奧古斯土·馬西森想出馬西森定則（Matthiessen's rule）。這定則表明，總電阻率 $\rho$ 可以分為兩個項目^[7]：

\rho =\rho _{d}+\rho _{p}

；

其中， $\rho _{d}$ 是由於晶體缺陷而產生的電阻率， $\rho _{p}$ 是由於聲子而產生的電阻率。

$\rho _{d}$ 與金屬內部的缺陷密度有關，是電阻率對溫度的曲線外推至0K時的電阻率。因此， $\rho _{d}$ 與溫度無關。 $\rho _{p}$ 等於 $\rho -\rho _{d}$ 。假若缺陷密度不高，則 $\rho _{p}$ 通常與缺陷密度無關。 $\rho _{p}$ 與電子跟聲子的碰撞率有關，而碰撞率與聲子密度成正比。假設溫度高於德拜溫度，則聲子密度與溫度成正比，所以， $\rho _{p}$ 與溫度成正比：

\rho _{p}=C_{h}T

、

\rho =\rho _{d}+C_{h}T

；

其中， $C_{h}$ 是比例常數。

這方程式等價於前面電阻與溫度的關係方程式。

假設溫度低於德拜溫度，則電阻與溫度的5次方成正比^[8]^[9]^[10]：

\rho _{p}=C_{l}T^{5}

；

其中， $C_{l}$ 是比例常數。

如右圖所示，當溫度接近絕對溫度時，黃金和白金的電阻趨向於常數；而當溫度小於4.2K時，水銀的電阻突然從0.002歐姆陡降為10^-6歐姆，成為超導體。

半導體

溫度越高，本徵半導體的導電性質越優良，電子會被熱能撞跳至導帶，從而可以自由的移動，也因而留下電洞於價帶，也可以自由的移動於價帶。這電阻行為以方程式表達為

R=R_{0}e^{-aT}

；

其中， $R_{0}$ ， $a$ 是常數。

外質半導體的電阻對於溫度的反應比較複雜。從絕對零度開始，隨著溫度增加，由於載子迅速地離開施主或受主，電阻會急劇降低。當大多數的施主或受主都失去了載子之後，電阻會因載子的遷移率（mobility）下降而隨溫度稍為上升。當溫度升得更高，外質半導體的電阻行為類似本徵半導體；施主或受主的載子數量超小於因熱能而產生的載子的數量，於是電阻會再度下降^[12]。

絕緣體和電解質

絕緣體和電解質的電阻與溫度一般成非線性關係，而且不同物質有不同的變化，故不在此列出概括性的算式。

超導體

某些材料在溫度接近絕對零度（-273.15°C）或極低的溫度時會出現超導現象，目前發現的超導體的最高溫度約是203開爾文（-70°C）。

應變對電阻的影響

導體的電阻受應變影響而改變。假設施加張力（一種應力的形式，會引起應變，即導體伸長）於導體，則導體沿張力的方向，其長度會增加，相對而言，導體於垂直張力方向的截面面積會減少。這兩種效應共同貢獻，使得受到張力的導體，其電阻會隨之增加。假設施加壓力，則由於壓縮（方向相反的應變：導體縮短，截面面積增加），導體應變部分的電阻會減少。應用這效應，應變片（strain gauge）可以測量物體的應變與所受張力。

參看

電測量（electrical measurements）
熱阻（thermal resistance）
薄膜電阻
量子霍爾效應，一種新的電阻測量標準。
近藤效應
四端點測量技術

導抗
	實數	虛數	複數	單位
導性	電導（G）	電納（B）	導納（Y）	西門子（S）
抗性	電阻（R）	電抗（X）	阻抗（Z）	歐姆（Ω）

參考文獻

^ Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, fundamentals of Electric Circuits 3, revised, McGraw-Hill: pp. 9–10, 2006, ISBN 9780073301150
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^ A. Matthiessen, Progg. Anallen, 122, 47 (1864)
^ Enss, Christian; Hunklinger, Siegfried, Low-temperature physics illustrated, Springer: pp. 216–218, 2005, ISBN 9783540231646
^ 昂內斯, 海克, Investigations into the properties of substances at low temperatures, which have led, amongst other things, to the preparation of liquid helium. (PDF), Nobel Lecture, 1913年12月 [2010-12-23], （原始內容存檔 (PDF)於2006-04-25）
^ Seymour J, Physical Electronics, chapter 2, Pitman, 1972

外部連結

克萊門森大學車輛電子實驗室網頁：電阻計算機（英文）

[1] Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, fundamentals of Electric Circuits 3, revised, McGraw-Hill: pp. 9–10, 2006, ISBN 9780073301150

[2] Seymour J, Physical Electronics, pp 48–49, Pitman, 1972

[horowitz-hill-3] Horowitz, Paul; Winfield Hill. The Art of Electronics 2nd. Cambridge University Press. 1989: 13. ISBN 0-521-37095-7.

[handbook-4] 4.0 ^4.1 Pender, Harold & Del Mar, William (編), Handbook for Electrical Engineers:a reference book for practicing engineers and students 2nd, New York: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 1350, 2094, 1922

[5] Bird, John, Electrical and electronic principles and technology, Newnes: pp. 22–24, 2006, ISBN 9780750685566

[6] Ward, MR, Electrical Engineering Science, pp36–40, McGraw-Hill, 1971.

[7] Kittel, Charles, Introduction to Solid State Physics 8th, John Wiley & Sons, Inc.: 148–152, 2005, ISBN 9780471415268

[8] A. Matthiessen, Rep. Brit. Ass. 32, 144 (1862)

[9] A. Matthiessen, Progg. Anallen, 122, 47 (1864)

[10] Enss, Christian; Hunklinger, Siegfried, Low-temperature physics illustrated, Springer: pp. 216–218, 2005, ISBN 9783540231646

[11] 昂內斯, 海克, Investigations into the properties of substances at low temperatures, which have led, amongst other things, to the preparation of liquid helium. (PDF), Nobel Lecture, 1913年12月 [2010-12-23], （原始內容存檔 (PDF)於2006-04-25）

[12] Seymour J, Physical Electronics, chapter 2, Pitman, 1972

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閱論編電磁學
靜電學	電電荷電場摩擦起電效應靜電放電閃電電暈放電尖端放電靜電感應靜電吸附靜電屏蔽庫侖定律高斯定律電通量電勢能電偶極矩電極化電位移
靜磁學	磁安培定律磁場磁感應強度磁場強度磁化強度磁通量畢奧-薩伐爾定律磁矩高斯磁定律磁矢勢
電學	電路電流電勢電壓電阻絕緣體半導體導體超導體歐姆定律串聯電路並聯電路直流電交流電帶電流電動勢電容電感阻抗電導波導憶阻器基爾霍夫電路定律
電現象	壓電效應壓阻效應熱電效應光電效應電致發光中高層大氣放電
電動力學	洛倫茲力霍爾效應電磁干擾法拉第電磁感應定律楞次定律位移電流馬克士威方程組電磁場電磁波馬克士威應力張量坡印廷向量黎納-維謝勢傑斐緬柯方程式渦電流倫敦方程推遲勢自由空間協變表述電磁張量四維電流密度電磁應力-能量張量四維勢
發展史	電荷守恆定律庫侖定律伏打電堆伽伐尼電池安培定律歐姆定律電磁感應馬克士威方程組基爾霍夫電路定律戴維南定理電磁波電子自旋
科學家	安培讓-巴蒂斯特·畢奧庫侖漢弗里·戴維愛因斯坦法拉第阿爾芒·斐索高斯奧利弗·黑維塞亥姆霍茲亨利赫茲 John Hopkinson Oleg D. Jefimenko 焦耳開爾文勳爵古斯塔夫·基爾霍夫約瑟夫·拉莫爾海因里希·冷次 Alfred-Marie Liénard 亨德里克·勞侖茲詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 Franz Ernst Neumann 歐姆漢斯·克里斯蒂安·奧斯特西梅翁·德尼·泊松約翰·亨利·坡印廷 William Ritchie 沙伐 George Singer 查爾斯·普羅透斯·斯泰因梅茨特斯拉湯姆森伏特韋伯維歇特

電阻
常見符號	$R$
國際單位	歐姆 (Ω)
基本單位	kg⋅m²⋅s⁻³⋅A⁻²
單位因次	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {I}}^{-2}$
因次	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {I}}^{-2}$

電導率
常見符號	$G$
國際單位	西門子 (S)
基本單位	kg⁻¹⋅m⁻²⋅s³⋅A²
單位因次	${\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-2}{\mathsf {T}}^{3}{\mathsf {I}}^{2}$
從其他物理量的推衍	$G={\frac {1}{R}}$
因次	${\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-2}{\mathsf {T}}^{3}{\mathsf {I}}^{2}$