幺半范畴

张量范畴（tensor category），或曰幺半范畴（monoidal category），直觉地讲，是个配上张量积的阿贝尔范畴（abelian category），可当作环的范畴化。

定义

数学中，一个张量范畴（tensor category，或称幺半范畴 monoidal category）是一个包含单一个对象的双范畴）bicategory）。更具体的描述：一个张量范畴是

一个范畴 $\mathbb {C}$ ;
被赋予张量积，即一个二元函子

\otimes :\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}

;

被赋予一个单位对象 $I$ ;
被赋予三组自然同构映射：
- 结合子 $\alpha$ : $\alpha _{A,B,C}:(A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)$ ;
- 左/右单位子: 自然同构映射 $\lambda$ , $\rho$ :

\lambda _{A}:I\otimes A\to A

,

\rho _{A}:A\otimes I\to A

;

满足以下相容条件:

每

A

,

B

,

C

,

D

\in

\mathbb {C}

,

和

都交换.///

在这以上两道相容条件下，任何以结合子,左右单位子和张量积组成的图表都交换，因为 Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem): 每个幺半范畴都幺半等价(monoidally equivalent) 于一严格幺半范畴（见下）.

严格幺半范畴

严格幺半范畴(strict monoidal category) 是个幺半范畴，其自然态射 $\alpha$ , $\lambda$ 和 $\rho$ 都是恒等影射.

取任一范畴 $\mathbb {C}$ , 我们可构筑其 自由严格幺半范畴 $\Sigma (\mathbb {C} )$ :

对象：其每一对象是一串由 $\mathbb {C}$ 里面的对象组成之有限序列 $(A_{1},\ldots ,A_{n}$ )；
态射：当且仅当 $n=m$ 时，我们在二个对象 $(A_{1},\ldots ,A_{n})$ 和 $(B_{1},\ldots ,B_{m})$ 之间定义态射:每 $\Sigma (\mathbb {C} )$ -态射是一串由 $\mathbb {C}$ -态射组成的有限序列 $(f_{1}:A_{1}\to B_{1},\ldots ,f_{n}:A_{n}\to B_{n})$ ；
张量积：二个 $\Sigma (\mathbb {C} )$ -对象 $(A_{1},\ldots ,A_{n})$ 及 $(B_{1},\ldots ,B_{m})$ 之张量积，我们定义为此二有限序列之串接(concatenation) $(A_{1},\ldots ,A_{n},B_{1},\ldots ,B_{m})$ ；同样地任何二 $\Sigma (\mathbb {C} )$ -态射之张量积，我们定义为其串接。

按：此算符 $\Sigma$ ，向由任一范畴 $\mathbb {C}$ 配上 $\Sigma (\mathbb {C} )$ ，可推广到 ${\textbf {Cat}}$ 上的严格-2-单子（strict 2-monad）。

例

取任一范畴，若以其平常范畴积作张量积，以其终对象作单位对象，则成为一个张量范畴。亦可取任一范畴，以其馀积（co-product）作张量积，以其始对象作单位对象，亦成一个张量范畴。（此二例实为对称幺半范畴结构。）但亦有许多张量范畴（例如： $R$ -Mod，如下），其张量积既非范畴积亦非范畴馀积。

以下举张量范畴二例——向量空间范畴和集合范畴——并表明其类比：

$R$ -Mod	Set
取任一域或交换环 $R$ , 各 $R$ -模所成之范畴 $R$ -模 (若R 为一域，则 R-模即 R－向量空间) 是一对称幺半范畴；其张量积 ⊗ 与单位对象为： $R$ .	范畴集为一对称幺半范畴赋有张量积 × 与单位对象 {*}.
单元结合代数为 $R$ -模之一对象，赋上态射 $\nabla :A\otimes A\rightarrow A$ 与 $\eta :R\rightarrow A$ 并满足以下条件:	A 幺半群为一对象 M ，配上态射 $\circ :M\times M\rightarrow M$ 与 $1:\{*\}\rightarrow M$ 并满足

and	与
.	.
A 馀代数(coalgebra) 是一个对象 C ，被赋予态射 $\Delta :C\rightarrow C\otimes C$ 和 $\epsilon :C\rightarrow R$ 并满足以下条件:	集内每一对象（即每一集合）S，都被赋予态射 $\Delta :S\rightarrow S\times S$ 和 $\epsilon :S\rightarrow \{*\}$ 满足以下条件:

and	and
.	.
	此 ε 是唯一的，因为 $\{*\}$ （即一元集合）是个终对象.

应用

么半范畴被用以定义直觉主义线性逻辑的积性部分模型。它们也是凝态物理中拓扑序的数学基础。
张量范畴是二维保角场论和拓扑量子场论之代数框架.

参考

Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
Baez, John, Definitions （页面存档备份，存于互联网档案馆）
: <<Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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严格幺半范畴

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相关的结构

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