在量子力学里,Delta位势垒是一个垒内位势为狄拉克Delta函数,垒外位势为0的位势垒。Delta位势垒问题专门研讨,在这种位势的作用中,一个移动的粒子的量子行为。我们想要知道的是,在被Delta位势垒散射的状况下,粒子的反射系数与透射系数。在许多量子力学的教科书里,这是一个常见的习题。
对于一个Delta位势垒的散射。往左与往右的行进波的振幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的行进波都以红色表示。
一个粒子独立于时间的薛定谔方程为
;
其中,
是约化普朗克常数,
是粒子质量,
是粒子位置,
是能量,
是波函数,
是位势,表达为
;
其中,
是狄拉克Delta函数,
是狄拉克Delta函数的强度。
这位势垒将一维空间分为两个区域:
与
。在任何一个区域内,位势为常数,薛定谔方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的叠加(参阅自由粒子):
,
;
其中,
、
、
、
都是必须由边界条件决定的常数,下标
与
分别标记波函数往右或往左的方向。
是波数。
由于
,
与
都是行进波。这两个波必须满足在
的边界条件:
,
。
特别注意第二个边界条件方程,波函数随位置的导数在
并不是连续的,在位势垒两边的差额有
这么多。这方程的推导必须用到薛定谔方程。将薛定谔方程积分于
的一个非常小的邻域:
;(1)
其中,
是一个非常小的数值。
方程(1)右边的能量项目是
。(2)
在
的极限,这项目往著0去。
方程(1)左边是
(3)
根据狄拉克Delta函数的定义,
。(4)
而在
的极限,
,(5)
。(6)
将这些结果(4),(5),(6)代入方程(3),稍加编排,可以得到第二个边界条件方程:在
,
。
从这两个边界条件方程。稍加运算,可以得到以下方程:
,
。
一个Delta位势垒的反射系数
(用红线表示)与透射系数
(用绿线表示)随着能量
的变化。在这里,能量
。能量的单位是
。经典力学的答案用虚线表示,量子力学的答案用实线表示。
由于能量是正值的,粒子可以自由的移动于位势垒外的两个半空间,
或
。可是,在Delta位势垒,粒子会遇到散射状况。设定粒子从左边入射。在Delta位势垒,粒子可能会被反射回去,或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数与透射系数。设定
,
,
,
。求算反射的概率幅
与透射的概率幅
:
,
。
反射系数是
。
透射系数是
。
这纯粹是一个量子力学的效应,称为量子隧穿效应;在经典力学里,透射系数等于0,粒子不可能会透射过位势垒。
- 由于模型的对称性,假若,粒子从右边入射,我们也会得到同样的答案。
- 很奇异地,给予同样的能量、质量、与狄拉克Delta函数的强度,Delta位势垒与Delta位势阱有同样的反射系数与透射系数。