有限深方形阱。阱宽为
。阱内位势为0。在阱壁,位势突然升高为
。阱外位势保持为
。
在量子力学里,有限深方形阱,又称为有限深位势阱,是无限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一个阱内位势为0,阱外位势为有限值的位势阱。关于一个或多个粒子,在这种位势作用中的量子行为的问题,称为有限深位势阱问题。与无限深方形阱问题不同的是,在阱外找到粒子的概率大于0。
在经典力学里,假若,粒子的能量小于阱壁的位势,则粒子只能移动于阱内,无法存在于阱外。截然不同地,在量子力学里,虽然粒子的能量小于阱壁的位势,在阱外找到粒子的概率大于0。
一维有限深方形阱的阱宽为
,左边阱壁与右边阱壁的位置分别为
与
。阱内位势为0。在阱壁,位势突然升高为
。阱外位势保持为
。这一维阱将整个一维空间分为三个区域:阱左边,阱内,与阱右边。在每一个区域内,对应着不同的位势,描述粒子的量子行为的波函数
也不同,标记为:[1]:78-82
:阱左边,
(阱外区域),
:阱内,
(阱内区域),
:阱右边,
(阱外区域)。
这些波函数,都必须满足,一维不含时间的薛定谔方程:
;(1)
其中,
是约化普朗克常数,
是粒子质量,
是粒子位置,
是位势,
是能量。
在阱内,位势
,方程简化为:
。(2)
设定波数
为
。(3)
代入方程(2):
。
这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数
是正弦函数与余弦函数的线性组合:
;
其中,
与
都是复值常数,由边界条件而决定。
在阱外,位势
,薛定谔方程为:
。
视能量是否大于位势而定,有两种不同的解答。一种是自由粒子解答,另一种是束缚粒子解答。
假若,粒子的能量小于位势:
,则这粒子束缚于位势阱内.称这粒子的量子态为束缚态(bound state)。设定
。(4)
代入方程(1):
。
一般解是指数函数。所以,阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是
,
;
其中,
,
,
,
都是常数。
从正确的边界条件,可以找到常数
,
,
,
,
,
的值。
薛定谔方程的解答必须具有连续性与连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的边界条件。
总结前面导引出的结果,波函数
的形式为:
:阱左边,
(阱外区域),
:阱内,
(阱内区域),
:阱右边,
(阱外区域)。
当
趋向负无穷,包含
的项目趋向无穷。类似地,当
趋向无穷,包含
的项目趋向无穷。可是,波函数在任何
都必须是有限值。因此,必须设定
。阱外区域的波函数变为
,
。
在阱左边,随着
越小,波函数
呈指数递减。而在阱右边,随着
越大,波函数
呈指数递减。这是合理的。这样,波函数才能够归一化。
由于有限深方形阱对称于
,可以利用这对称性来省略计算步骤。波函数不是奇函数就是偶函数。
假若,波函数
是奇函数,则
,
,
,
由于整个波函数
必须满足连续性与连续可微性。在阱壁,两个波函数的函数值与导数值都必须相配:
![{\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c43a595dd074705bba21703f8f979a10a47cb7b)
![{\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bee5ee39673191e59dfb6e9bb4c1e3fe6226c57)
将波函数的公式代入:
,(5)
。(6)
方程(6)除以方程(5),可以得到:
。
从方程(3)与(4),可以求得常数
与波数
的关系:
。
所以,波数是离散的,必须遵守以下方程:
。
这也造成了离散的能量。
假若,波函数
是偶函数,则
,
,
,
由于整个波函数
必须满足连续性与连续可微性。在阱壁,两个波函数的函数值与导数值都必须相配:
![{\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c43a595dd074705bba21703f8f979a10a47cb7b)
![{\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bee5ee39673191e59dfb6e9bb4c1e3fe6226c57)
将波函数的公式代入:
,(7)
。(8)
方程(8)除以方程(7),可以得到:
。
从方程(3)与(4),可以求得常数
与波数
的关系:
。
所以,波数是离散的,必须遵守以下方程:
。
这也造成了离散的能量。
假若,一个粒子的能量大于位势,
,则这粒子不会被束缚于位势阱内。因此,在这里,粒子的量子行为主要是由位势阱造成的散射(scattering)行为。称这粒子的量子态为散射态。称这不被束缚的粒子为自由粒子。更强版的定义还要求位势为常数。假若,一维空间分为几个区域,只有在每个区域内,位势为常数;而在区域与区域之间,位势不相等,则称此粒子为半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大于位势,
,不会被束缚于位势阱内,能量不是离散能量谱的特殊值,而是大于或等于
的任意值。波数
,用方程表达为
,也不是离散量。代入方程(1):
,
。
解答形式与阱内区域的解答形式相同:
,
。
其中,
、
、
、
,都是常数。
- ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.