黎曼几何

微分几何中，黎曼几何（英语：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。

19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。

任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。

黎曼几何古典理论

伯恩哈德·黎曼

一般理论

1. 高斯-博内定理：紧致二维黎曼流形上高斯曲率的积分等于$2\pi \chi (M)$，这里的$\chi (M)$记作M的欧拉示性数。
2. 纳什嵌入定理：（两个）被称为黎曼几何的基础理论。他们表明每个黎曼流形可以是嵌入欧几里得空间Rⁿ。

理论

所有给出的定理中，都将用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

受限截面曲率

1. 1/4-受限 球定理：若M是完备n-维黎曼流形，其截面曲率严格限制于1和4之间，则M同胚于n-球。

1. Cheeger's有限定理：给定常数C和D，只有有限个（微分同胚的流形算作一个）紧n-维黎曼流形，其截面曲率$|K|\leq C$并且直径$\leq D$。

1. Gromov的几乎平坦流形：存在一个$\epsilon _{n}>0$使得如果一个n-维黎曼流形其度量的截面曲率$|K|\leq \epsilon _{n}$且直径$\leq 1$，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形.

正曲率

正截面曲率

1. 灵魂定理：若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于Rⁿ.
2. Gromov的贝蒂数定理：有一个常数C=C(n)使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过C.

正里奇曲率

1. Myers定理：若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。

1. 分裂定理：若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何区间上的距离都极小的测地线）则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。

1. Bishop's不等式：半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。

1. Gromov's紧致性定理：所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。

数量曲率

1. n-维环不存在有正数量曲率的度量。

1. 若一个紧n-维黎曼流形的单射半径$\geq \pi$，则数量曲率的平均值不超过n（n-1）。

负曲率

负截面曲率

1. 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

1. 若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群Z。

1. 设V^*是一$\mathbb {R}$-rank$\geq$2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率$K\leq 0$的紧致$C^{\infty }$黎曼流形，若$vol(V)=vol(V^{*})$，且$\pi _{1}(V)=\pi _{1}(V^{*})$，则$V$与$V^{*}$等距。

负里奇曲率

1. 任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。
2. 任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。

参见

• 度量张量
• 黎曼流形
• 列维-奇维塔联络
• 曲率
• 曲率张量
• 微分几何主题列表
• 黎曼及度量几何词表

参考文献

• Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
• Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)