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哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程

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广义相对论中,哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程(英语:Hamilton–Jacobi–Einstein equation,简称HJEE)是一道哈密顿形式、描述超空间中的几何力学的方程。创于“几何力学年代”,这方程由艾雪·佩雷斯在60年代前后和其他人铸造。[1]目的是更正广义相对论以令其成为量子理论的半古典近似,就像量子力学古典力学一样对应关系。

这方程包含了全部10道爱因斯坦场方程式EFEs[2],亦是古典力学中哈密顿-雅可比方程式HJE)的修正,并可以从ADM形式中的爱因斯坦-希尔伯特作用量,以最小作用量原理推导。

背景及动机

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古典与量子物理的对应关系

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古典分析力学中的一个系统的动力学是由作用量S所概括。而各量子理论,即非相对论量子力学、相论对量子力学及量子场论,各有不同的诠释及数学形式,但一个系统的行为都是完全由一个几率幅 Ψ(正式来说是量子态ket 希尔伯特空间中的元素)。Eikonal的半古典近似给出

当中Ψ相位可被诠释为作用量,而模值ρ = Ψ*Ψ = |Ψ|则可被根据哥本哈根诠释几率密度函数约化普朗克常数ħ是“作用量的量子”。代入一般形式的薛定谔方程式(SE),则有

ħ → 0极限则得到古典的HJE:

这是对应原理其中一个结果。

参考

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  1. ^ A. Peres. On Cauchy's problem in general relativity - II 26 (1). Springer. 1962: 53–62. doi:10.1007/BF02754342.  |journal=被忽略 (帮助)
  2. ^ U.H. Gerlach. Derivation of the Ten Einstein Field Equations from the Semiclassical Approximation to Quantum Geometrodynamics. Physical Review. 1968, 177 (5): 1929–1941. Bibcode:1969PhRv..177.1929G. doi:10.1103/PhysRev.177.1929.