纳皮尔的骨头
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纳皮尔的骨头（英语：Napier's bones）是苏格兰数学家约翰纳皮尔发明的一种用来计算乘法与除法，类似算盘的工具。由一个底座及九根圆柱（方柱）组成，可以把乘法运算转为加法，也可以把除法运算转为减法。更为进阶的用法也可以开平方根
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纳皮尔的骨头在清初传入中国，数学家梅文鼎在《梅氏丛书辑要》中最先介绍纳皮尔的骨头，梅氏称之为“筹算”。后来戴震著作《策算》也叙述了这种算法[1]。
简介
[编辑]底座左边的数字由上而下是1-9。先将之称为n。
每根圆柱又分为十格，下面九格有自左下而右上的斜线。最上面的格子写着1-9的数字，姑且称为k，代表着这根柱子的编号。编号下面的数字则是由k乘上横排相对应的n得到的，十位数摆左上角，个位数摆右下角。
乘法运算
[编辑]举例说明如何用纳皮尔的骨头进行乘法运算。
46785399乘以7
1.把编号4,6, 7,8, 5,3, 9,9的圆柱依序放入底座。
2.如下图将结果相加即得到乘积（记得要进位）。
46785399乘以96431
1.把编号4,6, 7,8, 5,3, 9,9的圆柱依序放入底座。
2.将46785399乘以9,6, 4,3, 1分别用上述方法一条一条算出来。
3.接着用直式加法把数字加起来。
除法运算
[编辑]同样举例说明。
46785399除以96431
1.把除数（96431）编号的柱子摆入底座。
2.如下图所示把96431乘以1-9的结果写出来。
3. 46785399从左边六位开始看，下面写上小于467853但最大的96431k。
4.用467853去减96431k（此例中k=4），得到的数字写下面。
5.把上面的数字（9）移下来，如同长除法般重复进行此动作。
6.最后得到一个比96431还小的数，为余数。
7.如有需要，可以一直进行除法工作以得到小数点位数。
开平方根
[编辑]用来开平方根的纳皮尔的骨头会用到第十根柱子，上有三个直排。第一排上有数字1-9的平方，第二排是数字2,4, ...,18，第三排则是1-9。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | √ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0/1 | 0/2 | 0/3 | 0/4 | 0/5 | 0/6 | 0/7 | 0/8 | 0/9 | 0/1 2 1 |
| 2 | 0/2 | 0/4 | 0/6 | 0/8 | 1/0 | 1/2 | 1/4 | 1/6 | 1/8 | 0/4 4 2 |
| 3 | 0/3 | 0/6 | 0/9 | 1/2 | 1/5 | 1/8 | 2/1 | 2/4 | 2/7 | 0/9 6 3 |
| 4 | 0/4 | 0/8 | 1/2 | 1/6 | 2/0 | 2/4 | 2/8 | 3/2 | 3/6 | 1/6 8 4 |
| 5 | 0/5 | 1/0 | 1/5 | 2/0 | 2/5 | 3/0 | 3/5 | 4/0 | 4/5 | 2/5 10 5 |
| 6 | 0/6 | 1/2 | 1/8 | 2/4 | 3/0 | 3/6 | 4/2 | 4/8 | 5/4 | 3/6 12 6 |
| 7 | 0/7 | 1/4 | 2/1 | 2/8 | 3/5 | 4/2 | 4/9 | 5/6 | 6/3 | 4/9 14 7 |
| 8 | 0/8 | 1/6 | 2/4 | 3/2 | 4/0 | 4/8 | 5/6 | 6/4 | 7/2 | 6/4 16 8 |
| 9 | 0/9 | 1/8 | 2/7 | 3/6 | 4/5 | 5/4 | 6/3 | 7/2 | 8/1 | 8/1 18 9 |
求出46785399的平方根
1.把46785399分为两位两位一组，46 78 53 99。（如果奇数位数，如83559，写成8 35 59）
2.从最左边那组，46，开始。找出比这数最小的完全平方数，是在第六横排上的36。
3.因为是从第六横排上挑出来的，所以答案的第一位是6。
4.找到第十根柱子上的第六横排第二直排，12，然后把1跟2的柱子放在底座上。
5.用46减去36得到10，然后把上面下一组的78移到10的右边。
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_____________
√46 78 53 99 = 6
36
--
10 78
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7.找出比1078还要小但最大的数，在此第八横排的1024是最大的：
0/8 1/6 6/4 → 1024
8. 8为答案的下一位数，写在6旁边，然后把1078减去1024得到54。
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_____________
√46 78 53 99 = 68
36
--
10 78
10 24
-----
54
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9.把之前的12乘上10，再加上第十根柱子第八横排第二直排的数，16，得136。
10.重复上述步骤可得到结果：
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_____________
√46 78 53 99 = 68
36
--
10 78
10 24
-----
54 53
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11.再次找到比5453还要小但最大的数，为4089。5453减去4089为1364，并把3写在68的旁边。
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_____________
√46 78 53 99 = 683
36
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10 78
10 24
-----
54 53
40 89
-----
13 64
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12.把3乘2的结果加上之前136的十倍，得到1366。把1,3, 6,6的版子摆入底座。
13.再度重复上述步骤。现在比最底下的数小的数是第九横排的123021。
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_____________
√46 78 53 99 = 6839
36
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10 78
10 24
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54 53
40 89
-----
13 64 99
12 30 21
--------
1 34 78
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14.再把9加到答案当中，得到整数答案6839。
我们把题目给的数46785399用完了，但是底下还有余数13478。这意味着6839只是答案的整数部分，的实际值应当比6839大，比6840小。如果有需要继续做下去以得到小数部分的话，下一组的两个数字就要用00：
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_____________
√46 78 53 99 = 6839.
36
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10 78
10 24
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54 53
40 89
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13 64 99
12 30 21
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1 34 78 00
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这些步骤可以一直重复使得到的答案无限逼近正解。
最后，如果要求平方根的数是小数的话，将数字分组的时候整数部分跟小数部分要分开分组；整数部分如常，小数部分则是方向相反。
例如数字54782.917的分组情况为：
5 47 82 . 91 7
接着便可开平方。