在数学 分支泛函分析 中,对于给定的C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
, Gelfand–Naimark–Segal 构造 (简称GNS构造 )在一个C*-代数 的循环*-表示与该C*-代数上的某类线性泛函 (称为态 )之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃尔·盖尔范德 、 马克·奈马克 和欧文·西格尔 。
C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
在希尔伯特空间
H
{\displaystyle H}
上的*-表示 是
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
到
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
的 *-同态
π
{\displaystyle \pi }
,其中
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
是
H
{\displaystyle H}
上有界算子 构成的代数。换句话说,
π
{\displaystyle \pi }
是将
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的对合 映为
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
上的对合的代数同态 。
下文提及 *-表示时,将默认讨论的是非退化的 *-表示。也就是说线性生成空间
π
(
A
)
H
{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})H}
是
H
{\displaystyle H}
的稠密子集 。注意,若
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
有单位元,则非退化性蕴含了
π
{\displaystyle \pi }
的保单位元性质,即
π
{\displaystyle \pi }
将
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的单位元映射到
H
{\displaystyle H}
上的恒等算子
I
{\displaystyle I}
。
C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的态 是范数为 1 的正线性泛函
f
{\displaystyle f}
。若
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
具有乘法单位元,则此条件等价于
f
(
1
A
)
=
I
{\displaystyle f(1_{\mathcal {A}})=I}
。
对于希尔伯特空间
H
{\displaystyle H}
上的C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的表示
π
{\displaystyle \pi }
以及
ξ
∈
H
{\displaystyle \xi \in H}
,如果向量集
{
π
(
x
)
ξ
:
x
∈
A
}
{\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}}
在
H
{\displaystyle H}
中范数稠密,则
ξ
,
π
{\displaystyle \xi ,\pi }
分别被称为是循环向量 和循环表示 。一个不可约表示 的任何非零向量都是循环的。然而,一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。
令
π
{\displaystyle \pi }
为C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
在希尔伯特空间
H
{\displaystyle H}
上的*-表示,单位向量
ξ
{\displaystyle \xi }
对于
π
{\displaystyle \pi }
而言是循环向量。那么
a
↦
⟨
π
(
a
)
ξ
,
ξ
⟩
{\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }
是
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的一个态。
反过来,通过选择一种典范的表示,
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的每个态都可以被视为如上所述的向量态 。
证明
构造希尔伯特空间
H
{\displaystyle H}
定义
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的一个正半定半线性形式 如下
⟨
a
,
b
⟩
=
ρ
(
b
∗
a
)
,
a
,
b
∈
A
.
{\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.}
根据柯西-施瓦茨不等式 ,
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的退化元(也就是说即满足
ρ
(
a
∗
a
)
=
0
{\displaystyle \rho (a^{*}a)=0}
的
a
{\displaystyle a}
)构成了
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的一个子空间
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
。通过C*-代数式的论证,可以证明[ 2]
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
是
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的一个左理想 (即
ρ
{\displaystyle \rho }
的左核 )。实际上,它是
ρ
{\displaystyle \rho }
的核所含的最大的左理想。商空间
A
/
I
{\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {I}}}
可配备内积
⟨
a
+
I
,
b
+
I
⟩
:=
ρ
(
b
∗
a
)
,
a
,
b
∈
A
{\displaystyle \langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A}
而成为内积空间。再利用内积诱导的范数进行完备化 便得到被记作
H
{\displaystyle H}
的希尔伯特空间.构造表示
π
{\displaystyle \pi }
为定义
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
到
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
上的映射
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
,先定义
π
{\displaystyle \pi }
到
B
(
A
/
I
)
{\displaystyle B({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})}
上的映射。为此对于
a
∈
A
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}
,定义算子
π
(
a
)
{\displaystyle \pi (a)}
的行为如下:
π
(
a
)
(
b
+
I
)
=
a
b
+
I
{\displaystyle \pi (a)(b+{\mathcal {I}})=ab+{\mathcal {I}}}
,其中
x
+
I
{\displaystyle x+{\mathcal {I}}}
表示商空间中的
x
∈
A
{\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}
所属的等价类。类似前面对
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
是左理想的证明,可以证明[ 3] 前述的算子
π
(
a
)
{\displaystyle \pi (a)}
是有界的,故可以唯一地扩张 为
H
{\displaystyle H}
上的有界算子。注意希尔伯特空间上算子的伴随 的定义,
π
{\displaystyle \pi }
显然是保对合的,至此便证明了它是一个*-同态。找出循环单位向量
ξ
{\displaystyle \xi }
若
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
有乘法单位元
1
{\displaystyle 1}
,则显然
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中单位元所在的等价类就是
H
{\displaystyle H}
中相对于
π
{\displaystyle \pi }
而言的循环向量
ξ
{\displaystyle \xi }
。若
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
没有乘法单位元,可考虑
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的渐进单位元
{
e
λ
}
{\displaystyle \{e_{\lambda }\}}
。由于正线性泛函有界,
{
e
λ
}
{\displaystyle \{e_{\lambda }\}}
在商空间中的等价类将收敛于某个向量
ξ
∈
H
{\displaystyle \xi \in H}
,即所要寻找的循环向量。
根据
H
{\displaystyle H}
上内积的定义,态
ρ
{\displaystyle \rho }
显然可由上述循环表示和循环向量构造而来,于是此定理证毕。
在上述定理的证明中,根据
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的态产生*-表示的方法称为GNS构造 。
对于C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的一个态,相应的GNS表示本质上由
ρ
(
a
)
=
⟨
π
(
a
)
ξ
,
ξ
⟩
{\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }
唯一确定了。下面的定理说明了这一点:
定理[ 4] — 设
π
,
π
′
{\displaystyle \pi ,\pi '}
是
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
分别在希尔伯特空间
H
,
H
′
{\displaystyle H,H'}
上的*-表示,相应的循环单位向量分别是
ξ
,
ξ
′
{\displaystyle \xi ,\xi '}
。对于
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上给定的态
ρ
{\displaystyle \rho }
,若其满足
∀
a
∈
A
,
ρ
(
a
)
=
⟨
π
(
a
)
ξ
,
ξ
⟩
=
⟨
π
′
(
a
)
ξ
′
,
ξ
′
⟩
{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle }
,则
π
,
π
′
{\displaystyle \pi ,\pi '}
是幺正等价的*-表示,也就是说存在一幺正算子
U
:
H
→
H
′
{\displaystyle U:H\to H'}
使得
∀
a
∈
A
,
π
′
(
a
)
=
U
π
(
a
)
U
∗
.
{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \pi '(a)=U\pi (a)U^{*}.}
该算子具有性质
∀
a
∈
A
,
U
π
(
a
)
ξ
=
π
′
(
a
)
ξ
′
.
{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad U\pi (a)\xi =\pi '(a)\xi '.}
GNS构造是盖尔范德-奈马克定理 证明的核心,该定理将C*-代数刻画为算子代数。一个C*-代数具有足够多的纯态(见下文)来使得相应不可约GNS表示的直和 成为忠实 的。
全体态对应的GNS表示的直和称为
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的万有表示 ,其包含有每个循环表示。由于每个*-表示都是循环表示的直和,因此
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的每个 *-表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。
若
Φ
{\displaystyle \Phi }
是 C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的万有表示,则
Φ
(
A
)
{\displaystyle \Phi ({\mathcal {A}})}
在弱算子拓扑 中的闭包 称为
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
的包络冯诺依曼代数 。它可以视为是双对偶
A
∗
∗
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{**}}
[需要解释 ] 。
不可约 *-表示和态所构成的凸集 的极点 (纯态 )之间的关系也很重要。
H
{\displaystyle H}
上的表示
π
{\displaystyle \pi }
是不可约的,当且仅当
H
{\displaystyle H}
没有非平凡的在任一
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
下不变的闭子空间,这里所谓平凡的子空间是指
H
,
{
0
}
{\displaystyle H,\{0\}}
。
定理 — 有单位元的C*代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的态构成一个弱*-拓扑意义下的紧致 凸集 。更普遍的是,(无论C*代数是否有单位元)范数不大于一的正线性泛函构成一紧凸集。
这些结果可由巴拿赫-阿劳格鲁定理 直接得出。
作为有单位元的交换代数,对于某个紧致 的
X
{\displaystyle X}
上的连续函数所构成的C*-代数
C
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}
, 里斯-马尔可夫-角谷表示定理 指出,范数不超过一的正泛函可视作
X
{\displaystyle X}
上一个总质量 不超过一的博雷尔正测度。根据克林-米尔曼定理 ,极点态则对应于狄拉克测度 。
另一方面,
C
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}
的表示的不可约性等价于其是一维的。因此,为使
C
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}
对应于测度
μ
{\displaystyle \mu }
的GNS 表示是不可约的,须且仅须
μ
{\displaystyle \mu }
是一极点态。事实上,这对于一般的C*-代数也成立。
为证明此结果,首先须注意,一个表示是不可约的当且仅当
π
(
A
)
{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}
的中心化子 (记作
π
(
A
)
′
{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})'}
)由单位元的标量倍数构成。
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上任一被
f
{\displaystyle f}
控制 的正线性泛函
g
{\displaystyle g}
具有形式
g
(
x
∗
x
)
=
⟨
π
(
x
)
ξ
,
π
(
x
)
T
g
ξ
⟩
,
{\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle ,}
其中
T
g
∈
π
(
A
)
′
{\displaystyle T_{g}\in \pi ({\mathcal {A}})'}
是某个正算子,其在算子序 下满足
0
≤
T
≤
1
{\displaystyle 0\leq T\leq 1}
。这是拉东-尼科迪姆定理 的一个版本。
对于这样的
g
{\displaystyle g}
,可以将
f
{\displaystyle f}
写为如下正线性泛函的和:
f
=
g
+
g
′
{\displaystyle f=g+g'}
。因此
π
{\displaystyle \pi }
幺正等价于
π
g
⊕
π
g
′
{\displaystyle \pi _{g}\oplus \pi _{g'}}
的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的
π
g
{\displaystyle \pi _{g}}
都幺正等价于
π
{\displaystyle \pi }
,即
g
{\displaystyle g}
是
f
{\displaystyle f}
的标量倍数,
π
{\displaystyle \pi }
才是不可约的。于是便证明了该定理。
上文提到的极点态往往被称为纯态,但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。
上述C*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B*-代数 。
刻画完全正映射 的斯坦斯普林扩张定理 是GNS构造的一个重要推广。
盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。[ 5] 西格尔意识到了其工作中隐含的构造,并以更明显的形式呈现出来。
西格尔在其1947年的论文中表明,对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统,考虑 C*-代数的不可约 表示就足够了。在量子理论中,这意味着C*-代数是由可观测量 生成的。正如西格尔所指出的,约翰·冯·诺依曼 早先已经证明过这一点,但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。[ 6]
William Arveson , An Invitation to C*-Algebra , Springer-Verlag, 1981
Kadison, Richard , Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory , American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191 .
Jacques Dixmier , Les C*-algèbres et leurs Représentations , Gauthier-Villars, 1969. English translation: Dixmier, Jacques. C*-algebras. North-Holland. 1982. ISBN 0-444-86391-5 .
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Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization , In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8 , p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily . Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics. World Scientific. 2005. ISBN 981-256-129-3 .
^ Kadison, R. V. , Theorem 4.5.2, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191
^ Takesaki, Masamichi. Theory of operator algebras I. 1. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag. 1979: 37 . ISBN 978-1-4612-6188-9 .
^ Takesaki, Masamichi. Theory of operator algebras I. 1. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag. 1979: 40 . ISBN 978-1-4612-6188-9 .
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^ I. E. Segal . Irreducible representations of operator algebras (PDF) . Bull. Am. Math. Soc. 1947, 53 (2): 73–88. doi:10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .