奇异数 (数论)
外观
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在数论中,奇异数(或称奇怪数)是指不是半完全数的丰数,[1] 也就是说此自然数之所有真约数(即小于此自然数之正约数)之和比此数自身大(丰数的定义),但其真约数不论如何组合,其和都不等于此自然数(因此不是半完全数)。
许多的丰数都是半完全数,如12的真约数有1, 2, 3, 4, 6,总和为16>12,因此为一丰数,但2+4+6=12,因此12也是半完全数,大多数的丰数都可以找到部分真约数,使其和等于本身。若丰数的真约数和都不等于本身,即为奇异数。
举例
最小的奇异数是70,其真约数有1, 2, 5, 7, 10, 14及35,总和为74,其中无法找到一组子集合,使其总和为70。因此70是奇异数。
奇异数有无穷多个,最小的一些奇异数是:70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, ... (OEIS数列A006037)。
性质
未解决的数学问题:是否存在奇数的奇异数?
存在无限多个奇异数[2]。例如,70p为奇异数,针对大于等于149的素数p都成立。实际上,奇异数集合的自然密度为正值[3]。
目前已知的奇异数均为偶数,还不确定是否存在奇数的奇异数,若其存在,其数值必大于1021。[4]
Sidney Kravitz证明针对正整数k,Q是超过2k的素数,且
也是2k的素数,则
是奇异数[5]。
Sidney Kravitz根据此公式,找到最大的奇异数
参照
- ^ Benkoski, Stan. E2308(in Problems and Solutions). The American Mathematical Monthly. Aug.-September 1972, 79 (7): 774. doi:10.2307/2316276.
- ^ Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (编). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. 2006: 113–114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
- ^ Benkoski, Stan; Erdős, Paul. On Weird and Pseudoperfect Numbers. Mathematics of Computation. April 1974, 28 (126): 617–623. JSTOR 2005938. MR 0347726. Zbl 0279.10005. doi:10.2307/2005938 .
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A006037 (Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. -- comments concerning odd weird numbers
- ^ Kravitz, Sidney. A search for large weird numbers. Journal of Recreational Mathematics (Baywood Publishing). 1976, 9 (2): 82–85. Zbl 0365.10003.