佩服数

在数论中，佩服数（英文：Admirable numbers），是指若一个正整数除了本身外之所有的约数^{[注 1]}，存在一个约数 $d\,^{\prime }$ ，将其他不是本身、不是 $d\,^{\prime }$ 的约数相加后，再减掉 $d\,^{\prime }$ ，若等于本身，就称它为“佩服数”。换句话说佩服数是计算一数的约数和，但其中一个约数是以相反数和其他约数相加，得到的值是自己本身的数。有这种性质的数虽未如完全数一般的完美，但仍被形容为“令人敬佩的”^[1]。

所有大于3的素数的6倍都是佩服数^[1]^{[注 2]}，因此佩服数有无穷多个。

定义

一个正整数除了本身外之所有约数，存在一个约数 $d\,^{\prime }$ ，将其他不是本身、不是 $d\,^{\prime }$ 的约数相加后，再减掉 $d\,^{\prime }$ ，若等于本身，就称它为是佩服数。

例如12的约数有1、2、3、4、6、12。其中存在一个约数2，使得 $(1+3+4+6)-2=12$ ^[2]，同时，12也是最小的佩服数^[1]。

更为严格地说，佩服数是指使得公式 $\sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n$ 成立的正整数，其中σ指的是因数和函数，即 $n$ 的所有正因数（包括其本身n）之和。 $d\,^{\prime }$ 是n的其中一个约数。

例如20的约数有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的结果为 $\sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42$ ，存在一个约数1，使得 $\sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2$ ，所以20可称为佩服数。

佩服数是过剩数的一个子集，换句话说所有佩服数都是过剩数^[3]。

例子

最小的一些佩服数是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS数列A111592）

以上列出的佩服数都是偶数。最小的奇佩服数是945^[4]，同时最小的奇过剩数、奇半完全数^[5]也是945。

前几个奇佩服数是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS数列A109729）

连续的佩服数^{[注 3]}比连续的过剩数还要少。在10¹²以下，只有两组连续佩服数，分别是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)^[1]。

佩服数的分布并不像过剩数那样，过剩数有着非零的自然密度^[6]，而佩服数的成长率非线性的，例如小于100的佩服数有13个、小于1,000的佩服数有65个、小于10,000的佩服数有379个（OEIS数列A109727），其密度随着数字尺度变大而逐渐减少。

所有大于3的素数的六倍都是佩服数^[1]^{[注 2]}，更精确地说，所有的素数与素因数不含该素数之完全数的乘积都是佩服数^{[注 4]}。

参见

注释

^ 为方便说明，本条目中的“约数”一律指正约数。
^ ^2.0 ^2.1 假设p是一个大于3的素数，则6p可约数分解为 $2\times 3\times p$ ，因此6p共有8个约数，分别为：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，当中存在一个约数6，使得 $(1+2+3+p+2p+3p)-6=6p$ 本身，因此对所有大于3的素数 $p$ ， $6p$ 都是佩服数
^ 指两个相邻的整数都是佩服数的情况
^ 假设p是一个大于3的素数、q是一个完全数，则 $p\cdot q$ 的约数包含所有q的约数和所有q与p的乘积，已知q的约数和为2q，因此 $p\cdot q$ 的所有正约数和为 $2q+2p\cdot q$ ，不含 $p\cdot q$ 本身的约数和为 $(2q+2p\cdot q)-p\cdot q$ 为 $2q+p\cdot q$ ，因此当中存在一个约数q使得其不包括q的约数和 $(q+p\cdot q)$ 减去q等于 $p\cdot q$ 本身，因此对所有大于3的素数p， $p\cdot q$ 都是佩服数
^ 18的约数有1，2，3，6，9，18，假设d'为1，得 $(2+3+6+9)-1=19$ ，非18；假设d'为2，得 $(1+3+6+9)-2=17$ ，非18；假设d'为3，得 $\left(1+2+6+9\right)-3=15$ ，非18；假设d'为6，得 $(1+2+3+9)-6=9$ ，非18；假设d'为9，得 $(1+2+3+6)-9=3$ ，非18；假设d'为18，得 $(1+2+3+6+9)-18=3$ ，非18。因此18不存在约数d'，将其他不是本身、不是d'的约数相加后，再减掉d'，能等于本身，因此18不是佩服数^[9]
^ 该数列未被整数数列线上大全收录。
^ 二的乘幂的约数基本上是低于该数的所有二的乘幂，例如64的约数为1、2、4、8、16、32、64，为小于等于64的所有二的乘幂，因此根据二的乘幂级数的性质^[12]，将不是本身的约数相加相当于从1到乘幂少1的二乘幂级数之和因此必等于本身减一，而1为所有自然数的约数，因此二的乘幂必定会是亏完全数。

参考文献

J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The ARITHMETIC TEACHER, October 1960. pp. 293-5

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 admirable numbers. numbers aplenty. [2016-08-28]. （原始内容存档于2017-06-03）.
^ J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28]. （原始内容存档于2019-08-12）.
^ Admirable numbers. oeis.org. [2011-07-13]. （原始内容存档于2022-05-11）. All admirable numbers are abundant
^ 佩服數列表. 整数数列线上大全. [2011-07-13]. （原始内容存档于2021-02-26）.
^ Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Section B2. pp.75
^ Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001.
^ Donovan Johnson. A153501:COMMENTS. 整数数列线上大全. [2016-08-30]. （原始内容存档于2021-11-21）.
^ V Shevelev. On perfect and near-perfect numbers (PDF). arxiv.org. [2016-08-30]. （原始内容存档 (PDF)于2019-11-09）.
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 T. Trotter. Admirable Numbers. trotter math. [2011年7月13日]. （原始内容存档于2010年11月30日）.
^ M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.
^ M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.
^ The sum of the powers of two from 2⁰ up to 2^{(n - 1)} is (2^ⁿ) - 1. c2.com. [2016-08-30]. （原始内容存档于2016-09-18）.
^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A083207 (Zumkeller or integer-perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

外部链接

Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] 为方便说明，本条目中的“约数”一律指正约数。

[6padmirable-3] 2.0 ^2.1 假设p是一个大于3的素数，则6p可约数分解为 $2\times 3\times p$ ，因此6p共有8个约数，分别为：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，当中存在一个约数6，使得 $(1+2+3+p+2p+3p)-6=6p$ 本身，因此对所有大于3的素数 $p$ ， $6p$ 都是佩服数

[8] 指两个相邻的整数都是佩服数的情况

[perfectpadmirable-10] 假设p是一个大于3的素数、q是一个完全数，则 $p\cdot q$ 的约数包含所有q的约数和所有q与p的乘积，已知q的约数和为2q，因此 $p\cdot q$ 的所有正约数和为 $2q+2p\cdot q$ ，不含 $p\cdot q$ 本身的约数和为 $(2q+2p\cdot q)-p\cdot q$ 为 $2q+p\cdot q$ ，因此当中存在一个约数q使得其不包括q的约数和 $(q+p\cdot q)$ 减去q等于 $p\cdot q$ 本身，因此对所有大于3的素数p， $p\cdot q$ 都是佩服数

[18_can't_be_admirable-14] 18的约数有1，2，3，6，9，18，假设d'为1，得 $(2+3+6+9)-1=19$ ，非18；假设d'为2，得 $(1+3+6+9)-2=17$ ，非18；假设d'为3，得 $\left(1+2+6+9\right)-3=15$ ，非18；假设d'为6，得 $(1+2+3+9)-6=9$ ，非18；假设d'为9，得 $(1+2+3+6)-9=3$ ，非18；假设d'为18，得 $(1+2+3+6+9)-18=3$ ，非18。因此18不存在约数d'，将其他不是本身、不是d'的约数相加后，再减掉d'，能等于本身，因此18不是佩服数^[9]

[15] 该数列未被整数数列线上大全收录。

[Sum_of_power_of_two-19] 二的乘幂的约数基本上是低于该数的所有二的乘幂，例如64的约数为1、2、4、8、16、32、64，为小于等于64的所有二的乘幂，因此根据二的乘幂级数的性质^[12]，将不是本身的约数相加相当于从1到乘幂少1的二乘幂级数之和因此必等于本身减一，而1为所有自然数的约数，因此二的乘幂必定会是亏完全数。

[numbersaplenty-2] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 admirable numbers. numbers aplenty. [2016-08-28]. （原始内容存档于2017-06-03）.

[4] J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28]. （原始内容存档于2019-08-12）.

[5] Admirable numbers. oeis.org. [2011-07-13]. （原始内容存档于2022-05-11）. All admirable numbers are abundant

[6] 佩服數列表. 整数数列线上大全. [2011-07-13]. （原始内容存档于2021-02-26）.

[7] Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Section B2. pp.75

[HT95-9] Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001.

[11] Donovan Johnson. A153501:COMMENTS. 整数数列线上大全. [2016-08-30]. （原始内容存档于2021-11-21）.

[12] V Shevelev. On perfect and near-perfect numbers (PDF). arxiv.org. [2016-08-30]. （原始内容存档 (PDF)于2019-11-09）.

[T.trotter-13] 9.0 ^9.1 ^9.2 T. Trotter. Admirable Numbers. trotter math. [2011年7月13日]. （原始内容存档于2010年11月30日）.

[16] M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.

[17] M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.

[18] The sum of the powers of two from 2⁰ up to 2^{(n - 1)} is (2^ⁿ) - 1. c2.com. [2016-08-30]. （原始内容存档于2016-09-18）.

[20] Sloane, N.J.A. (编). Sequence A083207 (Zumkeller or integer-perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

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[注 5]

[注 6]

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[注 7]

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查论编和约数有关的整数分类
简介	素因数分解约数元约数除数函数素因数算术基本定理
依约数分解分类	素数合数半素数普洛尼克数楔形数无平方数因数的数幂数素数幂平方数立方数次方数阿喀琉斯数光滑数正规数粗糙数不寻常数
依约数和分类	完全数殆完全数准完全数多重完全数 Hemiperfect数 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number）超完全数元完全数半完全数本原半完全数实际数
有许多约数	过剩数本原过剩数高过剩数超过剩数可罗萨里过剩数高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number）奇异数
和真因子和数列有关	不可及数相亲数交际数婚约数
其他	亏数友谊数孤独数卓越数欧尔调和数佩服数节俭数等数位数奢侈数

佩服数

定义

例子

相关的数列

盈完全数

相容数

亏完全数

楚姆克勒数

参见

注释

参考文献

外部链接