圆锥曲线

圆锥曲线

圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次平面曲线，是数学、几何学中透过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名与研究，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，当时阿波罗尼阿斯已对它们的性质做过系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率$e$）的点的集合是圆锥曲线。对于$0<e<1$得到椭圆，对于$e=1$得到抛物线，对于$e>1$得到双曲线。

定义

有同一焦点 $F$ 和同一准线 $l$ 的：椭圆（$e$=1/2）、抛物线（$e$=1）、双曲线（$e$=2）。

设$F$为定点，$l$为定直线，$e$为正常数，称满足${\frac {|PF|}{|Pl|}}=e$的动点$P$的轨迹为圆锥曲线。

其中$F$为其焦点，$l$为准线，$e$为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为$\rho =e(d-\rho \cos \theta )$或$\rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}$（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。 其中$\theta$为$PF$与极轴的夹角，$d$为定直线$x=d$，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，

当$e=1$时，曲线为抛物线。

当$e\neq 1$时，

当$0<e<1$时，曲线为椭圆。

当$e>1$时，曲线为双曲线。

圆锥曲线的类型

圆锥曲线	方程	离心率（e）	半焦距（c）	半正焦弦（ℓ）	焦点准线距离（p）
圆	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$	$0\,$	$0\,$	$a\,$	$\infty$
椭圆	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
抛物线	$y^{2}=4ax\,$	$1\,$	$-\,$	$2a\,$	$2a\,$
双曲线	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质

椭圆（ellipse）

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线（Parabola）

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线（Hyperbola）

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。

离心率

有固定焦点F和准线的圆（e=0) 、椭圆（e=1/2）、抛物线 (e=1)和双曲线（e=2）。

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是$a/e\$，这里的$a\$是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是$ae\$。

在圆的情况下，$e=0$且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的$a\$，$e\$越接近于1，半短轴就越小。

笛卡尔坐标

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式

$Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

此处参数$A\,$，$B\,$和$C\,$不得皆等于$0\$。

矩阵表示

上述方程可以使用矩阵表示为

$\left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0$

亦可以写作

$\left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0$

这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。 (参见齐次坐标)

下文中记$A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]$，记$A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}$。

类别

借由$A_{Q}$，我们可以判定圆锥曲线是否退化。

• 若$\det(A_{Q})=0$，则圆锥曲线$Q$退化。
• 若$\det(A_{Q})\neq 0$，则圆锥曲线$Q$未退化。

若圆锥曲线未发生退化，则

• 若 $\det(A_{33})>0$, 方程表示一个椭圆；
  • 对于椭圆，当$(A+C)\det(A_{Q})<0$时，$Q$为一个实椭圆；当$(A+C)\det(A_{Q})>0$时$Q$为一个虚椭圆。（例如，$2x^{2}+y^{2}+10=0$没有任何实值解，是一个虚椭圆）
  • 特别的，若$A=C$ ，$B=0$且$D^{2}+E^{2}-4AF>0\,$，作为椭圆的特殊情况，$Q$表示一个圆。
• 若 $\det(A_{33})=0$，$Q$表示一条抛物线；
• 若 $\det(A_{33})<0$，$Q$表示一条双曲线；
  • 若$A+C=0$ ，$Q$表示一条直角双曲线。

若圆锥曲线发生退化，则

• 若$\det(A_{33})>0$，作为椭圆的退化，$Q$为一个点。
• 若$\det(A_{33})=0$，作为抛物线的退化，$Q$为两条平行直线。
  • 若$D^{2}+E^{2}>4(A+C)F$，$Q$为两条不重合的平行直线。
  • 若$D^{2}+E^{2}=4(A+C)F$，$Q$为两条重合的平行直线。（特别的，此时$A_{Q}$的秩为1）
  • 若$D^{2}+E^{2}<4(A+C)F$，$Q$直线不存在与实平面中。
• 若$\det(A_{33})<0$，作为双曲线的退化，$Q$为两条相交直线。（同时，也是双曲线的渐近线）

在此处的表达中，$A$和$B$为多项式系数，而非半长轴$A$和半短轴$B$。

不变量

矩阵$A_{Q}$、$A_{33}$的行列式，以及$A+C$（$A_{33}$的迹）在任意的旋转和座标轴的交换中保持不变。 常数项$F$以及$D^{2}+E^{2}$仅在旋转中保持不变。

离心率

$Q$的离心率可被写作关于$Q$系数的函数。 若 $\det(A_{33})=0$，$Q$为 抛物线，其离心率为1。其它情况下，假设$Q$表达一个未退化的椭圆或双曲线，那么

$e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},$

此处若$\det(A_{Q})$为负则$\eta =1$；若$\det(A_{Q})$为正则$\eta =-1$。

此外，离心率$e$也是下述方程的一个正根

$\Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,$

此处 $\Delta =\det(A_{33})$ 。对于椭圆或抛物线，该方程只有一个正根，即其离心率；对于双曲线，其有两个正根，其中的一个为其离心率。

变换为标准方程

对于椭圆或双曲线，$Q$可用变换后的变量$x',y'$表示为如下所示的标准形式

${\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,$

或等价的

${\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,$

此处，$\lambda _{1}$和$\lambda _{2}$为$A_{33}$的特征值，也即下述方程的两根：

$\lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0$

同时，$S=\det(A_{Q})$，$\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})$。

透过座标变换，各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式：

方程式	圆	椭圆	抛物线	双曲线
标准方程式	${x^{2}}+{y^{2}}=a^{2}\$	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\$	$y^{2}=4ax\,$	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\$
参数方程式	$a\cos \theta ,a\sin \theta \,$	$a\cos \theta ,b\sin \theta \,$	$at^{2},2at\,$	$a\sec \theta ,b\tan \theta \,$或 $\pm a\cosh u,b\sinh u\,$

极坐标

椭圆的半正焦弦

圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为$\ell$，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴$a$，和半短轴$b$，通过公式$a\ell =b^{2}\$或$\ell =a(1-e^{2})\$。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程

$r={\ell \over (1-e\cos \theta )}$，

或者，

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )$，

如上，对于$e=0$得到一个圆，对于$0<e<1$得到椭圆，对于$e=1$得到抛物线，对于$e>1$得到双曲线。

齐次坐标

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

$A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;$

或表示为矩阵：

${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0$

矩阵$M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}$叫做“圆锥曲线矩阵”。

$\Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}$叫做圆锥曲线的行列式。如果$\Delta =0$则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0$退化为两相交直线：$\{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}$。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: $\{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}$。

$\delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}$被称为圆锥曲线的判别式。如果$\delta =0$则圆锥曲线是抛物线，如果$\delta <0$则是双曲线，如果$\delta >0$则是椭圆。如果$\delta >0$且$A_{1}=A_{2}$，圆锥曲线是圆；如果$\delta <0$且$A_{1}=-A_{2}$，它是直角双曲线。可以证明在复射影平面$\mathbb {CP} ^{2}$中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根$>1$的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是$(1,i,0)$和$(1,-i,0)$，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

外部链接

• Conic sections（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Special plane curves（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section Directrix. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Focus. MathWorld. 
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.